Injektivität beweisen

12.02.2014, 22:49

HerbertB

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Injektivität beweisen

Hallo,

ich weiß, Injektivität die 100ste :-)

Ich habe folgendes Problem: Ich verstehe nicht, wie ich beweisen kann, das eine Funktion injektiv ist oder nicht.

Die Definition von Injektiv ist: $\begin{eqnarray*} \forall_{x,y \in M} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$

//EDIT: Ich weiß, das jeder Wert aus der Zielmenge nur einen Wert in der Definitionsmenge "treffen" darf.

Gegeben ist:
a) $\begin{eqnarray*} $R \rightarrow R, x \rightarrow x^{2}$ \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \{(x, 5x) | x \in N\} \subseteq N x N \end{eqnarray*}$

Wie beweise ich ob diese Funktionen injektiv sind oder nicht? Mir wäre wirklich sehr geholfen, wenn ich eine Schritt-für-Schritt anleitung bekommen könnte, damit ich mich mit dem Vorgang vertraut machen kann

Danke.

Mfg,
Herbert

12.02.2014, 23:20

Verdruss

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Ein allgemeines Rezept für Injektivität wird dir leider keiner geben können, es kommt halt doch immer auf den Fall an.
Aber:
Zunächst einmal ist Injektivität widerlegen relativ einfach, nämlich einfach durch Angabe eines Gegenbeispiels. Das sollte dir bei einem deiner Beispiele helfen.

Wenn du nun Injektivität zeigen willst, dann kannst du durchaus mit der Definition erstmal arbeiten. Nimm dir Elemente $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ aus deiner Bildmenge mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ und leite daraus her, dass schon $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ gelten muss. (Zum Beispiel durch Äquivalenzumformungen)

Manchmal ist es auch einfacher, bzw. intuitiver sich eine Umkehrfunktion vom Bild in den Definitionsbereich der Funktion zu überlegen. Diese kann nur existieren, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

12.02.2014, 23:34

HerbertB

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Hi, und danke für deine Ansätze, aber ich steh bei dem Thema leider komplett auf dem Schlauch... Hilfe

Hilfe

Zitat:

Zunächst einmal ist Injektivität widerlegen relativ einfach, nämlich einfach durch Angabe eines Gegenbeispiels. Das sollte dir bei einem deiner Beispiele helfen.

Naja, so einfach ist das nicht, denn wenn ich wüßte, wie ich ein Gegenbeispiel aufstelle, dann wüßte ich auch wie überhaupt mit der Injektivität umgehen müsste. Da ist leider schon das Problem, ich weiß überhaupt nicht wo ich da ansetzen soll, darum habe ich nach einem Beispiel, bezogen auf meine Angabe, gefragt, damit ich überhaupt erst einmal einen Ansatz habe.

12.02.2014, 23:42

Verdruss

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Gut, schauen wir uns zum Beispiel einfach die Sinus-Funktion von den reellen Zahlen an. Die ist periodisch und damit ziemlich nicht injektiv. Wir beweisen wir das ganze nun?
Wir suchen zwei reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} sin(x)=sin(y) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x\neq y. \end{eqnarray*}$

Das sollte dir (in der Hoffnung, dass du die Sinus-Funktion kennst) relativ leicht fallen, oder? Und so bastelt man sich Gegenbeispiele. Im Endeffekt kann man sich zunächst einfach die Funktion anschauen und evtl. erstmal raten, wo es schief gehen kann.

Sieht man nicht direkt Gegenbeispiele, kann man natürlich auch erstmal versuchen, die Injektivität zu beweisen.
Nehmen wir als Beispiel deine Funktion a)

$\begin{eqnarray*} x^{2}=y^{2} \end{eqnarray*}$

Das sind jetzt unsere Elemente aus dem Bild. Können wir nun irgendwie folgern, dass x=y ist? Wenn nein, warum nicht? Und wie könnte uns das auf ein Gegenbeispiel bringen?

13.02.2014, 00:15

Dopap

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Du kannst auch überlegen:

Hat jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild?

demnach:
a.) nicht injektiv da ...
b.) injektiv da ...

13.02.2014, 08:26

HerbertB

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Danke für die Antworten, folgendes Problem besteht aber: ich stehe noch ganz am Anfang, also ich habe mir die Definition angesehen, und habe mir anhand von Zeichnungen angesehen, wie Injektivität aussieht, das wars aber leider schon.

Ich würde das gerne Schritt für Schritt durchgehen.

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} R \rightarrow R \end{eqnarray*}$ das heißt Definitionsmenge wird auf die Zielmenge aus den Reellen Zahlen abgebildet, gut soweit.

Weiters gegeben ist $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x^2 \end{eqnarray*}$ , das ist die Funktion, um die es geht.

Jetzt habe ich die Definition $\begin{eqnarray*} \forall_{x,y \in M} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$

Wie hängt das Gegebene mit der Definition zusammen? Wie setzte ich wo was ein? Wie gehe ich das an?

Danke.

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13.02.2014, 10:43

Verdruss

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Ok, also mal Schritt für Schritt. Wir betrachten deine angegebene Funktion, also die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow f(x), wobei f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn wir das nun in die Definition von Injektivität einsetzen, erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} x^{2}=y^{2} \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$

Wie kannst du nun versuchen, diese Gleichung mit Äquivalenzumformungen auf
$\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$
zu bringen?

Und was geht dabei schief?

13.02.2014, 10:49

HerbertB

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Zitat:

Original von Verdruss
Wenn wir das nun in die Definition von Injektivität einsetzen, erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} x^{2}=y^{2} \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$

D.h. also wenn $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x^{2} \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann muss ich dieses "hoch x" auf alle Variablen des rechten Teils der Implikation anwenden?

Zitat:

Original von Verdruss
Wie kannst du nun versuchen, diese Gleichung mit Äquivalenzumformungen auf
$\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$
zu bringen?

Und was geht dabei schief?

Naja, laut meinem Verständniss muss ich jetzt die Wurzel ziehen, und es kommen da 2 Werte für x heraus, ein positiver und ein negativer. Und was sagt mir das dann?

//EDIT: Jetzt hab ichs gemerkt, weil es für x zwei Werte gibt, ist die Funktion nicht injektiv, stimmt das?

13.02.2014, 11:04

Verdruss

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Zitat:

D.h. also wenn $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x^{2} \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann muss ich dieses "hoch x" auf alle Variablen des rechten Teils der Implikation anwenden?

Dein $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist ja die Anwendung der Funktion auf den Wert x des Definitionsbereiches. So ist ja die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt definiert. Das heißt, wenn wir die Formel unserer Funktion kennen, können wir statt $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ natürlich auch die Formel dort einsetzen.

Zitat:

Naja, laut meinem Verständniss muss ich jetzt die Wurzel ziehen, und es kommen da 2 Werte für x heraus, ein positiver und ein negativer. Und was sagt mir das dann?

Das gibt dir einen Hinweis auf ein Gegenbeispiel. Aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ kann nämlich folgen, wie du sebst sagtest, $\begin{eqnarray*} x=-y. \end{eqnarray*}$ Das heißt, wenn ich einen Funktionswert habe, so gibt es (i.A.) zwei Möglichkeiten ihn zu erreichen, nämlich mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x. \end{eqnarray*}$

13.02.2014, 11:07

HerbertB

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Ich wollte meinen Beitrag gerade noch editieren. Ich habs gerade selber gemerkt.

Laut Definition darf jeder y-Wert nur einen (oder keinen) x-Wert haben, nicht jedoch zwei, deshalb ist die Funktion nicht injektiv, stimmt das?

13.02.2014, 11:22

Verdruss

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Ganz genau das bedeutet die Definition im Endeffekt, richtig.

Was für ein konkretes Gegenbeispiel könntest du also angeben?
Und wie sieht es nun mit deiner zweiten Funktion aus? Ich nehme mal an, die soll
von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb N^{2} \end{eqnarray*}$ gehen?
Hier kannst du es genauso versuchen wie oben; du wirst schnell sehen, dass diese Funktion injektiv ist.

Versuch es einmal, ich muss jetzt erstmal wieder weg. Wenn du noch Hilfe brauchst, kann hier gerne wer anders weitermachen smile

smile

13.02.2014, 11:27

HerbertB

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Danke für deine Hilfe.

Ein gegenbeispiel wäre demnach x = -1, oder?

Die Funktion im zweite Beispiel soll von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb N^2 \end{eqnarray*}$ , da ich in der Angabe geschrieben habe "teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N x \mathbb N \end{eqnarray*}$ ", stimmt das?

13.02.2014, 11:28

Verdruss

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Ein alleiniger Wert kann kein Gegenbeispiel sein, du musst schon zwei Werte angeben, die den gleichen Funktionswert annehmen.
Du meinst vermutlich das richtige, dir fehlt nur der zweite Wert.

13.02.2014, 11:33

HerbertB

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Das heißt, wenn ich jetzt ein Gegenbeispiel angeben soll, dann führe ich die Werte 1 und - 1 an, oder wie gibt man sowas richtig an?

13.02.2014, 11:37

Verdruss

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Genau, du sagst:

$\begin{eqnarray*} f(1)=f(-1), \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} 1\neq-1 \end{eqnarray*}$

Das verletzt ja die Definition der Injektivität, also ist die Funktion eben nicht injektiv.

13.02.2014, 11:41

HerbertB

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Danke, bevor du gehst, noch eine letzte Frage zum zweiten Beispiel.

$\begin{eqnarray*} (x, 5x) \end{eqnarray*}$ , das heißt für mich: $\begin{eqnarray*} 5x = 5y \end{eqnarray*}$ , stimmst das?

Dadurch ergibt sich, geteilt durch 5, das $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ ist, stimmt das auch?

13.02.2014, 17:47

Verdruss

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Wenn diese Tupelschreibweise so gemeint war, also als $\begin{eqnarray*} (x,f(x)) \end{eqnarray*}$ , dann stimmt das genau so. Unsere Funktion hier ist also injektiv.

Schau dir am besten noch ein paar Graphen und Beispiele von injektiven Funktionen an. Das Konzept ist an sich nicht schwierig und wenn man das Konzept richtig verstanden hat, weiß man auch intuitiver, wie man an so einen Injektivitätsbeweis rangehen sollte smile

smile

13.02.2014, 19:50

HerbertB

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Danke nochmal für deine Hilfe, jetzt wird alles zunehmends klarer!

Eine frage habe ich noch, in einem Beispiel wird die Definitionsmenge mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{+} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ungekehrt angegeben, macht das irgendeinen unterschied?

Als Beispiel habe ich hier $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{+} \rightarrow \mathbb R, x \rightarrow ln(x) \end{eqnarray*}$ , ändern die Bereiche irgendwas an der vorgehensweise? (Ich vermute schon, weil sonst würde es nicht dabei stehen... smile

smile

)

13.02.2014, 19:53

Verdruss

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Im Allgemeinen ändern die Bereiche nicht unbedingt etwas am Vorgehen, aber am Ergebnis. So ist zum Beispiel dein erstes Beispiel injektiv, wenn wir nur die positiven reellen Zahlen betrachten.

Bei der Logarithmusfunktion ist dieser andere Bereich vor allem deswegen angegeben, weil die Logarithmusfunktion auf den negativen Zahlen gar nicht definiert ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.02.2014, 17:44

HerbertB

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Erst einmal danke für die Hilfe, das hat mich jetzt alles ein ganzes Stück weiter gebracht.

Eine Verständnisfrage hätte ich jetzt noch, und zwar:

In der Definition:
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow x^2 \end{eqnarray*}$

Wie interpretiert man diese Angabe? Sagt mir das, das die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ beide einfach eine Quadratzahl als Funktionswert liefern, oder warum weiß ich das $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) = y^2 \end{eqnarray*}$ ist?

Wenn ich jetzt z.B. diese Angabe hätte: $\begin{eqnarray*} x \rightarrow e^x \end{eqnarray*}$ , dann wären beide Funktionen jeweils $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) = e^y \end{eqnarray*}$ , stimmt das?

Danke.

14.02.2014, 18:09

Verdruss

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Vorsicht, du musst unterscheiden zwischen einer Funktion und einem Funktionswert!!

Die Angabe mit dem Pfeil ist ein Teil der Funktionsdefinition, zusammen mit den Angaben der Definitions-und Bildmengen bilden sie die Funktionsdefinition.
$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ sind lediglich Funktionswerte. Wenn ich meine Funktion

$\begin{eqnarray*} x \rightarrow x^{2}, \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nenne, dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \ \ \forall x \in \mathbb R. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) \ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) \ \end{eqnarray*}$ sind also KEINE Funktionen, es sei denn, mein f bildet in eine Funktionenmenge ab, aber das wäre nur ein Spezialfall. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ sind die Werte, die die Funktion bei Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x \ \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} y\ \end{eqnarray*}$ ausgibt.

Diese Unterscheidung ist ziemlich wichtig, gerade wenn man in die höhere Mathematik geht, darum reite ich gerade auf deinen Begrifflichkeiten herum smile

smile

14.02.2014, 18:14

Dopap

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deshalb sollte man evtl. nicht mit f(x) arbeiten.

f(a)=f(b) wäre da etwas unverfänglicher.

14.02.2014, 18:15

HerbertB

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Ok, danke für die Richtigstellung.

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