Halbgruppenring vs Polynomring

13.02.2014, 15:36

MatheMama01

Halbgruppenring vs Polynomring

Hallo,

ich hab da mal eine eher grundsätzliche Frage. Ich hab gerade gelesen, dass man Polynomringe auch über Halbgruppenringe definieren kann. Mir ist auch absolut klar, warum ein Polynomring ein Halbgruppenring ist. Aber andersrum hab ich da so ein Problem. Ist denn nicht jeder Halbgruppenring automatisch auch ein Polynomring? So wie ich das gelesen habe ist er das nicht, aber ich verstehe leider nicht warum.
Falls jemand eine Antwort darauf weiß oder sogar ein Beispiel wäre ich sehr dankbar smile

14.02.2014, 13:48

Elvis

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Ein Polynomring $\begin{eqnarray*} R[X] \end{eqnarray*}$ ist ein spezieller Halbgruppenring $\begin{eqnarray*} R[S] \end{eqnarray*}$ mit der Halbgruppe $\begin{eqnarray*} S=(\mathbb N,+) \end{eqnarray*}$ . Beispiele für Halbgruppenringe liefern Gruppenringe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[G] \end{eqnarray*}$ , für endliche Gruppen sind das bestimmt keine Polynomringe (für unendliche Gruppen auch nicht, oder ?). Siehe eventuell auch hier: http://www.mathematik.uni-kassel.de/~sei...en/AlgebraI.pdf

21.02.2014, 20:47

MatheMama01

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Hallo,
danke erstmal für die Antwort. Ich hab aber immernoch nicht so richtig den Unterschied verstanden. Gerdae wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[H] \end{eqnarray*}$ betrachte, wobei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ jezt eben nicht $\begin{eqnarray*} (N,+) \end{eqnarray*}$ ist, sondern eine beliebige Halbgruppe. Dann ist das doch aber immernoch isomorph zumindest zu einer Quotientengruppe... verwirrt

22.02.2014, 17:39

Elvis

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Nimm zum Beispiel $\begin{eqnarray*} S=\{1,\cdot\} \end{eqnarray*}$ die Gruppe der Ordnung 1, dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[S] \cong \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sicher kein Polynomring.
Polynome $\begin{eqnarray*} f(X)=\sum_{i=0}^n a_iX^i =(a_0,...,a_n,0,0,...) \end{eqnarray*}$ sind Folgen von Ringelementen, deren Koeffizienten fast alle 0 sind.

23.02.2014, 19:41

Louis1991

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Zitat:

Original von MatheMama01 Dann ist das doch aber immernoch isomorph zumindest zu einer Quotientengruppe... verwirrt

Auch wenn es nichts mit der eigentlichen Frage zu tun hat: Jeder kommutative Ring ist isomorph zu einem Quotienten eines Polynomrings über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

24.02.2014, 14:42

MatheMama01

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ich hatte irgendwo gelesen, dass man theoretisch Termordungen die ja auf Polynomringen definiert sind auch ganz allgemein auf Halbgruppenringen definieren kann. Aber ich verstehe eben nicht wie. Alle Beispiele die ich zu Halbgruppenringen finde, sind dann eben doch Polynomringe oder eben isomorph zu einem Quotientenring von einem Polynomring. Aber dann gibt es doch gar kein Problem mit der Termordnung. Dann kann ich doch einfach die selbe nehmen, die ich auf dem Polynomring da drüber habe.
Je mehr ich darüber nachdenke desto mehr Frage tauchen auf. Ich glaube ich habe einfach irgendetwas grundlegendes nicht verstanden...

24.02.2014, 14:45

MatheMama01

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nur mal so zum Verständnis. Wenn $\begin{eqnarray*} S = \{(a,b)\in \mathbb{N}^2 |2a \geq b\} \end{eqnarray*}$ wie sieht dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[S] \end{eqnarray*}$ aus?
ist das dann nicht sowas wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[x,y]/(x-y^2) \end{eqnarray*}$ ?

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