Exponentialgleichung

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11.08.2004, 16:22

Wolfi

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Exponentialgleichung

Kann mir einer bitte die Lösung verraten?

Hier ist die Gleichung:

3*3^2x - 5^x-1 = 3^2x+3 - 5^x+1

Vielen Dank

Wolfi

11.08.2004, 16:36

therisen

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Hallo Wolfi,
erstmal willkommen im Board Prost

Versuche deine Gleichung in diese Form zu bringen:

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$

Dann kannst du die Mitternachtsformel $\begin{eqnarray*} x_{12}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ anwenden. Probier's mal und poste deine Ergebnisse, dann helfe ich dir weiter.

Gruß, therisen

11.08.2004, 16:47

Mathespezialschüler

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@therisen
Guck mal genau hin, x is im Exponenten und nich die Basis Augenzwinkern

@wolfi
Mach erstmal Klammern! Meinst du

1. $\begin{eqnarray*} 3\cdot 3^{2x} - 5^x - 1 = 3^{2x} +3 - 5^x+1 \end{eqnarray*}$

oder

2. $\begin{eqnarray*} 3\cdot 3^2x - 5^x - 1 = 3^2x +3 - 5^x+1 \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich ist ersteres gemeint. -5^x kürzt sich weg (auf beiden seiten vorhanden). 3^(2x) auf die andere Seite bringen, dann bekommst du:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 3^{2x} = 5 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das kannst du lösen.

11.08.2004, 17:18

therisen

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Ooops stimmt, deswegen bitte immer den Formeleditor benutzen smile

11.08.2004, 17:36

Wolfi

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Sorry,
die Gleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} 3^{2x}*3- 5^{x-1}= 3^{2x+3}-5^{x+1} \end{eqnarray*}$

11.08.2004, 18:24

mathemaduenn

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Lösungshinweis
Hallo Wolfi,
Versuche alles so zusammenzufassen das auf jeder Seite des = nur noch Produkte stehen. Hier also alles mit 3 auf die eine Seite bringen und alles mit 5 auf die andere Seite. dann kannst Du beide Seiten logarithmieren.
gruß
mathemaduenn

11.08.2004, 18:31

Wolfi

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O.K. ich habe die Gleichung zusammengefasst, aber ich komme trotzdem nicht weiter....

$\begin{eqnarray*} 3^{2x+1}- 3^{2x+3}= 5^{x-1}- 5^{x+1} \end{eqnarray*}$

11.08.2004, 18:40

mathemaduenn

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Hallo Wolfi,
Erstmal mit minus eins durchmultiplizieren. Es soll ja ein Logarithmus angewendet werden und den gibt's für negative Zahlen nicht.
$\begin{eqnarray*} -3^{2x+1}+3^{2x+1}= -5^{x-1}+ 5^{x+1} \end{eqnarray*}$
jetzt versuchen, das nur noch Produkte stehenbleiben
$\begin{eqnarray*} 3^2*3^{2x+1}-3^{2x+1}= 5^{x+1}- 5^{x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3^2-1)3^{2x+1}= 5^{x+1}- 5^{x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8*3^{2x+1}= 5^{x+1}- 5^{x-1} \end{eqnarray*}$
Jetzt noch die rechte Seite und dann den Logarithmus(egal welchen) anwenden.
gruß
mathemaduenn
Edit: Fehler korrigiert

11.08.2004, 19:50

Ben Sisko

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In den letzten beiden Zeilen hast du auf der rechten Seite nen Dreher, mathemadünn (ich tippe auf copy&paste-Fehler Augenzwinkern

).

Gruß vom Ben

11.08.2004, 22:40

Wolfi

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Kann einer die Gleichung zu Ende rechenen?
Denn ich komme doch nicht zur Endlösung.
Es tut mir leid... Sorry...
Ich bedanke mich bei allen, die mir geholfen haben...

VIelen Dank

Wolfi

11.08.2004, 22:50

Mathespezialschüler

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Also, wir haben die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 8\cdot 3^{2x+1} = 5^{x+1}- 5^{x-1} \end{eqnarray*}$

Verinfachen:

$\begin{eqnarray*} 8\cdot 3^{2x+1} = 5^x\cdot (5-\frac{1}{5}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8\cdot 3^{2x+1} = 5^x\cdot \frac{24}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{2x+1} = \frac{3}{5}\cdot 5^x \end{eqnarray*}$

und jetz versuch mal trotzdem weiter! Einfach logarithmieren, Log-Gesetze anwenden, umformen und fertig!

11.08.2004, 22:50

therisen

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Probier doch mal das, was mathemaduenn dir geraten hat. Und poste dein Ergebnis hier, dann zeigen wir dir deinen Fehler.

Zur Kontrolle: Als Lösung sollte $\begin{eqnarray*} x={\frac {\ln \left( 5 \right) }{\ln \left( 5/9 \right) }} \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Gruß, therisen

12.08.2004, 17:23

Wolfi

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Hier ist meine Rechnung,

$\begin{eqnarray*} 3^{2x}*3^{1}-5^{x-1} = 3^{2x+3}-5^{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{x+1}- 5^{x-1} = 3^{2x+3}- 3^{2x}*3^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{x}* 5^{1}-5^{x}*5^{-1}=3^{2x}*3^{3}-3^{2x}*3^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{x}(\frac{5}{1}- \frac{1}{5})=3^{2x}(27-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{24}{5}*5^{x}=24*9^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*5^{x}=9^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log\frac{1}{5}*5^{x}=log9^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}x log5=xlog9 \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nicht

Danke für soviele Antworten

12.08.2004, 17:37

Philipp-ER

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Bis zur vorletzten Gleichung stimmt es.
Jedoch darfst du das 1/5 auf der linken Seite nicht einfach als Faktor vor den Logarithmus ziehen, das darf man nur für Exponenten.
Du brauchst zuerst ein anderes Logarithmusgesetz:
Wie war das noch mit log(a*b)?

Anschließend kannst du das x dann vor den Logarithmus ziehen, wie du es schon gemacht hast und die dann entstehende Gleichung müsstest du lösen können.

12.08.2004, 17:52

Mazze

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Zitat:

Wie war das noch mit log(a*b)?

Die Logarithmusgesetze gibt es hier Wolfi.

12.08.2004, 18:21

Wolfi

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also gut

$\begin{eqnarray*} 3^{2x}*3^{1}-5^{x-1} = 3^{2x+3}-5^{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{x+1}- 5^{x-1} = 3^{2x+3}- 3^{2x}*3^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{x}*5^{1}-5^{x}*5^{-1}=3^{2x}*3^{3}-3^{2x}*3^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{x}(\frac{5}{1}- \frac{1}{5})=3^{2x}(27-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{24}{5}*5^{x}=24*9^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*5^{x}=9^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(\frac{1}{5}* 5^{x})= log 9^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log\frac{1}{5}+log5^{x}= log 9^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log\frac{1}{5}+xlog5=xlog9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log\frac{1}{5}=xlog9 - xlog5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log\frac{1}{5}=x(log9 - log5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-log5}{log9-log5}=x \end{eqnarray*}$

so etwa, ich habe so ein Gefühl dass ich was falsch mache

Danke

12.08.2004, 19:03

Poff

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nein, du machst nichts falsch,

deine Lösung ist richtig
.

12.08.2004, 19:08

Wolfi

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Ja, aber es passt mit der Lösung von therisen nicht.......

Seine Lösung lautet: (siehe erste Seite)

x= ln(5) / ln(5/9)

Entweder habe ich ein Fehler gemacht, oder die Lösung von Therisen ist falsch....

Danke

Wolfi

12.08.2004, 19:14

mathemaduenn

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Hallo Wolfi,
erstmal :]
zur Frage
doch passt prima
ln(5/9)=ln(5)-ln(9)
Ansonsten beides mal in den Taschenrechner eingeben.
gruß
mathemaduenn

12.08.2004, 21:02

Mathespezialschüler

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Ja, genau, die beiden Lösungen sind gleich! Wenn du dein Ergebnis mit -1 erweiterst, dann kommst auf

$\begin{eqnarray*} \frac{log5}{log5-log9}=x \end{eqnarray*}$

und dann das folgende Logarithmusgesetz von links nach rechts benutzen:

$\begin{eqnarray*} \log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b \end{eqnarray*}$

und dann hast du das Ergebnis von therisen, sind also beide gleich!

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