Exponentialfunktionen: Der erschreckende Gewittersturm

13.02.2014, 18:01

Bonheur

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Exponentialfunktionen: Der erschreckende Gewittersturm

Bei einem längeren Gewittersturm steigt die Wasserhöhe in einem Staubecken zunächst schnell und dann zunehmend langsamer nach dem Gesetz des begrenzten Wachstums $\begin{eqnarray*} h(t)=a+b \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$ .
Am Anfang beträgt die Wasserhöhe 10 cm. Nach 10 Minuten sind es 50 cm. Zum Schluss strebt die Höhe gegen 250 cm.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Höhe h(t), t in Minuten, h in cm.
b) Wann ist die halbe Endhöhe erreicht? Wie schnell ändert sich die Höhe zu diesem Zeitpunkt?
c) Das Staubecken ist zylindrisch mit einem Durchmesser von 4 Metern. Wie stark ist der Wassereinstrom in den ersten 10 Minuten, gemessen in Liter/min?

Idee:

$\begin{eqnarray*} I:\,10=a+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II:\,50=a+b \cdot e^{-k \cdot 10} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, dass ich dieses Gleichungssystem nicht lösen kann, weil ich drei Variablen habe, die unbekannt sind.

"Zum Schluss strebt die Höhe gegen 250 cm"

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}f(x)=250 \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das miteinbeziehen?

Vielen Dank

Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.

13.02.2014, 18:09

Dopap

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RE: Der erschreckende Gewittersturm

Zitat:

Original von Bonheur
"Zum Schluss strebt die Höhe gegen 250 cm"

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}f(x)=250 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}h(t)=250 \end{eqnarray*}$

woraus a=250 folgt

13.02.2014, 18:10

10001000Nick1

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Berechne doch mal $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} \left(a+b \cdot e^{-kt}\right) \end{eqnarray*}$ , wobei k>0 ist.

13.02.2014, 18:10

Bonheur

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Das verstehe ich nicht.

Wieso das denn ? verwirrt

verwirrt

13.02.2014, 18:15

Bonheur

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Wie soll ich das berechnen ? Wenn man die Variablen nicht eindeutig definiert sind ?

13.02.2014, 18:17

10001000Nick1

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Na und? Der Grenzwert kann doch auch von einer/mehreren der Konstanten $\begin{eqnarray*} a, b, k \end{eqnarray*}$ abhängen.

Edit: Ich bin dann weg. smile

smile

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13.02.2014, 18:22

Dopap

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Dann berechne doch mal $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} b \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$ , ebenfalls mit k>0 .

13.02.2014, 18:24

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} \left(a+b \cdot e^{-kt}\right) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis steckt in der Information.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} \left(a+b \cdot e^{-kt}\right)=250 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe das nicht unglücklich

unglücklich

13.02.2014, 18:30

Dopap

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wie verläuft denn die Kurve $\begin{eqnarray*} f(t) =e^{-kt}\qquad k>0 \quad ? \end{eqnarray*}$

was passiert denn für grosse t ?

13.02.2014, 18:31

Bonheur

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Dann läuft f(t) gegen null.

13.02.2014, 18:47

Dopap

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also gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} e^{-kt}=0 \end{eqnarray*}$ , ebenfalls mit k>0 .

Was ist dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} b\cdot e^{-kt}=0 \end{eqnarray*}$ , ebenfalls mit k>0 .

13.02.2014, 18:49

Bonheur

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Stimmt

smile

.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} a + e^{-kt}=a \end{eqnarray*}$

Oder ?

13.02.2014, 18:54

Dopap

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das b fehlt noch

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} a + be^{-kt}=a \end{eqnarray*}$

so, jetzt kann es weitergehen...

13.02.2014, 19:00

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} a + be^{-kt}=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} 250 + be^{-kt}=250 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt, dass a=250 ist. smile

smile

Zu den Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} I:\,10=250+b => b=-240 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 50=250-240 \cdot e^{-k \cdot 10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -200=-240 \cdot e^{-k \cdot 10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}=e^{-k \cdot 10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{5}{6}\right)=-k \cdot 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ln\left(\frac{5}{6}\right)}{10}=-k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,018232=k \end{eqnarray*}$

Stimmt das ?

13.02.2014, 20:46

Dopap

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ja, das stimmt so. Freude

Freude

13.02.2014, 20:57

Bonheur

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Wo du offline warst, habe ich versucht b) und c) alleine zu lösen.

Um die halbe Endhöhe zu bestimmen, muss man $\begin{eqnarray*} \frac{250}{2}=125=h_{halbe} \end{eqnarray*}$

Daraus kann man folgenden Ansatz starten:
$\begin{eqnarray*} 125=250-240 \cdot e^{-0,018232\cdot t} => t_1=35,7791 \, min \end{eqnarray*}$

Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, muss man die Funktion ableiten.

$\begin{eqnarray*} h(t)=250-240 \cdot e^{-0,018232\cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h'(t)=-240 \cdot (-0,018232) \cdot e^{-0,018232 \cdot t}=4,37568 \cdot e^{-0,018232 \cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h'(35,7791)=2,279 \, \frac{\text{Liter}}{\text{Minute}} \end{eqnarray*}$

zu c)

Weiß ich leider nicht, welches mit dem Zylinder gemeint ist -.-

14.02.2014, 05:39

Dopap

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Zitat:

Original von Bonheur

$\begin{eqnarray*} h'(t)=-240 \cdot (-0,018232) \cdot e^{-0,018232 \cdot t}=4,37568 \cdot e^{-0,018232 \cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h'(35,7791)=2,279 \, \frac{\text{Liter}}{\text{Minute}} \end{eqnarray*}$

wieso $\begin{eqnarray*} \frac{\text{Liter}}{\text{Minute}} \end{eqnarray*}$ , ? die Höhe ist doch in cm:

$\begin{eqnarray*} h'(35,7791)=2,279 \, \frac{\text{cm}}{\text{Minute}} \end{eqnarray*}$

c.) Zylinder ?? na ja, das Becken ist eben eine grosse Regentonne ( hat die Form einer Cola-Büchse ). Der Durchmesser ist 400 cm die Höhe ist egal, hauptsache > 250 cm.

also: du brauchst die Fläche des kreisförmigen Querschnitts. Dann ist das Volumen in Litern des eingeströmten Wassern in den ersten 10 Minuten zu bestimmen, dann die mittlere Einströmrate in den ersten 10 Minuten.

Vorsicht: es stehen immer 10cm Restwasser im Zylinder.

14.02.2014, 07:40

Bonheur

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Muss man also

$\begin{eqnarray*} 400 cm \cdot \pi \cdot \frac{h(10)-h(0)}{10-0}=V \end{eqnarray*}$

So hier ?

Dann in dm umwandeln und letzendlich in liter

14.02.2014, 08:12

Dopap

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FORMEL kREISFLÄCHE BEACHTEN :

$\begin{eqnarray*} 400^2 \cdot \tfrac 14\pi \cdot (h(10)-h(0))=V \end{eqnarray*}$

alles ohne Einheiten geschrieben.

das Ergebnis in $\begin{eqnarray*} cm^3=ml \end{eqnarray*}$

14.02.2014, 08:16

Bonheur

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ok

Leider verstehe ich nicht, warum man 400 ins Quadrat nehmen muss, obwohl 400 schon der Durchmesser ist.

Und wie kommt die 1/4 zustande, war nicht die Formel für die Kreisfläche: $\begin{eqnarray*} \pi \cdot r^{2}=A \end{eqnarray*}$ ?

14.02.2014, 08:41

Dopap

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du hattest $\begin{eqnarray*} d\cdot \pi \end{eqnarray*}$ gerechnet, das ist aber der Umfang des Kreises. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} A=\pi\cdot r^2= \pi \cdot \left(\frac d2 \right)^2=\pi \cdot \frac {d^2}{4} \end{eqnarray*}$

solche Sachen sollten aber bekannt sein!

14.02.2014, 08:44

Bonheur

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Hahahahaha. Aso

Naja ; Ich habe noch nie so gearbeitet, wenn dann habe ich den Durchmesser mit zwei dividiert und habe das Ergebnis ins Quadrat genommen.

Wenn ich das Volumen habe, brauche ich nicht die Änderungsrate?

14.02.2014, 08:53

Dopap

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wie du die Kreisfläche berechnest wäre mir persönlich unwichtig.

Zitat:

wenn ich das Volumen habe, brauche ich nicht die Anderungsrate ?

ja, aber jetzt mach mal voran!

14.02.2014, 08:59

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} 400^2 \cdot \tfrac 14\pi \cdot (h(10)-h(0))=V => V=5026509,1192\, cm^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=5026,509 \, l \end{eqnarray*}$

so?

Edit: kann noch bis 9:20 Uhr^^ muss dann zur schule Hammer

Hammer

14.02.2014, 09:06

Dopap

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o.k. ( nicht nachgerechnet!)

und jetzt noch mit 10 teilen --> Mittlere Zuflusßrate in den ersten 10 Minuten in Liter/min

edit: V=5026.548 l

14.02.2014, 09:07

Bonheur

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Jo

smile

Vielen Dank nochmal für alles smile

smile

Und sorry, dass ich soviele Fragen gestellt habe hahah^^

Einen wunderschönen Tag, wünsche ich dir noch

Wink

Wink

14.02.2014, 09:11

Dopap

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gern geschehen, hoffentlich stimmt alles Wink

Wink

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