Steigungsverhalten, Tangente, Volumen, Extremalproblem

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15.02.2014, 22:54	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Steigungsverhalten, Tangente, Volumen, Extremalproblem Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{6x-x^{2}} \end{eqnarray}$ . a) Untersuchen Sie das Verhalten von f' für $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \to 6 \end{eqnarray}$ . b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt $\begin{eqnarray} S\Big(2\|f(2)\Big) \end{eqnarray}$ c) Bestimmen Sie die absoluten Extremwerte von f. d) Der Graph von f schließt mit der x-Achse ein Flächenstück ein, das um die x-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Körpers. e) Die Punkte O, P(x\|0) und Q(x\|f(x)) sind Eckpunkte eines Dreiecks, $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq 6 \end{eqnarray}$ . Wie müssen P und Q gewählt werden, damit der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal ist? Ideen: Erstmal zu a) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}f(x)=0 \end{eqnarray}$ Wenn man ganz kleine Werte für x einsetzt, nähert sich f(x) immer mehr der Null. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 6}f(x)=0 \end{eqnarray}$ Genau der gleiche Fall. Ist das Richtig ? Vielen Dank
15.02.2014, 23:00	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Hallo Bonheur, Deine Überlegung stimmt schon, beantwortet aber nicht die gestellte Frage: Welches Verhalten zeigt f' an den Stellen 0 und 6?
15.02.2014, 23:04	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{-(x-3)}{\sqrt{-x \cdot (x-6)}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}f(x)=\infty \end{eqnarray}$ Wenn man hier für x kleine Werte einsetzt, steigt f'(x) immer weiter. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 6}f(x)=-\infty \end{eqnarray}$ Hier genau das Gegenteil. Oder?
15.02.2014, 23:18	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Kann man so sehen. Du könntest auch folgendermaßen folgern: Für x-->0: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} f'(x): \quad \frac{-(0-3)}{\sqrt{0 \cdot (6-0)} } \rightarrow \frac{3}{0} \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ und für x-->6: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 6} f'(x): \quad \frac{-(6-3)}{\sqrt{6 \cdot (6-6)} } \rightarrow \frac{-3}{0} \rightarrow -\infty \end{eqnarray}$ Weiter zu Aufgabenteil b.
15.02.2014, 23:24	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
b) $\begin{eqnarray} t(x)=f'(2) \cdot (x- 2)+f(2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(x)=\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot x -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(x)=\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot x + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray}$ oder?
15.02.2014, 23:30	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Volltreffer! Das ist die Tangentengleichung. Dann kommen jetzt die Extremwerte. Wo liegen die absoluten Maxima und Minima?
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15.02.2014, 23:36	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut . $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{-(x-3)}{\sqrt{-x \cdot (x-6)}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x+3=0 \to x=3 \end{eqnarray}$ Ein Maximum existiert bei x=3 $\begin{eqnarray} f(3)=3 \to H_{absolut}\Big(3 \bigg\| 3\Big) \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass ich kein Fehler gemacht habe
15.02.2014, 23:42	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Nee, noch kein Fehler. Den Hochpunkt hast Du gefunden. Fehlt allerdings noch die Begründung, daß es sich (3 / f(3)) um ein relatives Maximum handelt (mit f''(3)<0 ). Naja, können wir uns auch schenken. Da weißt Du sowieso, wie das geht, und das ist ja eigentlich auch nur ein Fall für den Taschenrechner. Wie siehts denn mit Minima aus? Die sind nämlich auch noch da.
15.02.2014, 23:44	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher. Ich habe den Graphen gezeichnet und sehe nur ein Hochpunkt.
15.02.2014, 23:55	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Ja schon. Es gibt auch nur einen Hochpunkt. Aber es gibt auch noch zwei Tiefpunkte. Bedenke, es ist in Teil c nach absoluten Extrema gefragt. Bei der Wortkombination "absolute Extrema" mußt Du immer an die Ränder Deiner Funktion denken. Was ist denn Definitionsbereich von f? ps: Du hast ja den Graphen gezeichnet. Wie sieht er denn aus. Kannst Du den 'mal kurz beschreiben?
15.02.2014, 23:59	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Definitionsbereich: $\begin{eqnarray} D_f=\left\{x \in \mathbb{R} \|0 \leq x \leq 6\right\} \end{eqnarray}$ Es ist nur ein Bogen zu sehen.
16.02.2014, 00:04	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Der Definitionsbereich stimmt. Bei dem Bogen handelt es sich genau genommen um einen Halbkreis mit Radius 3 und Mittelpunkt (3 / 0). Warum daß so ein Halbkreis ist, können wir ja klären, wenn wir alle Aufgabenteile erledigt haben. Was ist jetzt los an den Rändern (sprich an den Stellen x=0 und x=6)?
16.02.2014, 00:08	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, dass die Stellen quasi auf der x-Achse liegen und wenn man versucht die Steigung zu bestimmen, nicht definiert sind. Vielleicht sind es absolute Extrema, aber aufgrund der gegebenen Funktion und den nicht definierten Bereich, kann man das nicht bestimmen oder?
16.02.2014, 00:14	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Doch, kann man wohl bestimmen. Ist sogar eigentlich ganz einfach. Dein Gedankengang mit der Ableitung ist in diesem Fall zu kompliziert. Mit der Ableitung können wir jetzt in der Tat nichts anfangen, die ist plus oder minus unendlich. Rechne doch einfach mal f(0) und f(6) aus.
16.02.2014, 00:14	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt bei beiden null raus.
16.02.2014, 00:21	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Genau, und für alle x mit der Eigenschaft 0<x<6 ist der Term unter der Wurzel >0, also ist auch f(x) für solche Werte >0 (und zwar echt größer, das ist wichtig). Und aus alledem schließen wir rasierklingenscharf, daß bei (0 / 0) und (6 / 0) absolute Tiefpunkte vorliegen. Weiter zu Teil d.
16.02.2014, 00:28	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider habe ich nicht verstanden, warum Tiefpunkte da sind und zu d) $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{6x-x^{2}} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \pi \cdot \int\limits_0^{6}\Big(f(x)\Big)^2~dx=\pi \cdot \int\limits_0^{6}6x-x^{2}~dx=\pi \cdot \left[3x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_0^{6}=\pi \cdot \left(108-36\right)=\pi \cdot 72 VE \end{eqnarray}$
16.02.2014, 00:39	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, die Tiefpunkte sind deshalb da, weil alle anderen Punkte des Graphen höher liegen als (0/0) und (6/0). Bei allen anderen Punkten ist doch die y-Koordinate >0 (Schau Dir Deine Zeichnung an). Vielleicht verwirrt es Dich etwas, daß es sich nicht wie gewöhnlich um relative Extrema innerhalb eines Intervalls handelt. Bei denen konntest Du immer mit der Ableitung arbeiten. An den Definitionsrändern geht das häufig nicht. Vielleicht hilft Dir der folgende Test. Berechne doch einfach mal mit dem Taschenrechner f(0.01), f(0.00001), f(5.9999), f(5.99). Das müßte alles größere Werte als Null liefern. Zu der Volumenberechnung: da steckt noch ein kleiner Verrechner drin. Was ist denn $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \cdot 6^3 \end{eqnarray}$ ?
16.02.2014, 00:48	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Worauf begründet sich das, dass wenn die y-Werte größer als Null sind, dass man dann Tiefpunkte hat? $\begin{eqnarray} V=\pi \cdot 36 \end{eqnarray}$ Können wir später weitermachen ? Ich bin relativ Müde. Vielen Dank Count^^
16.02.2014, 00:53	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Klar können wir morgen weitermachen. Ruh' Dich erst einmal aus. Und das Volumen ist jetzt auch richtig.
16.02.2014, 12:37	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe gerade gesehen, dass du wieder online bist Habe auf dich gewartet^^ ok Ich habe versucht weiterzumachen und habe auch versucht nachzuvollziehen, warum die absoluten Extremwerte da sind, bin aber leider gescheitert. Mir ist die Erklärung klar, aber warum kann man dann behaupten, dass dort absolute Extremwerte sind ?
16.02.2014, 13:24	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Guten Tag, ich hab da eine Graphik zusammengeschraubt, deshalb hat's ein bischen gedauert mit der Antwort (ein Bild zu basteln ist bei mir immer ziemlich umständlich). Wenn wir nach "absoluten" (oder "globalen") Tiefpunkten suchen, wollen wir denjenigen Punkt finden, der von allen Punkten auf dem Graphen den kleinsten y-Wert hat. Dazu geht man so vor: Man kann sich eine Liste machen mit den möglichen "Kandidaten", das sind immer die beiden Punkte an den Rändern (hier A und D) plus die relativen (oder "lokalen") Tiefpunkte (das wäre das C). Jetzt schaut man, welcher von den Kandidaten den allerkleinsten y-Wert hat, der ist dann unser Mann (nennen wir ihn "Tiefstpunkt), und der wäre in unserem Fall Punkt A. Für den "absoluten Hochpunkt" stünden in der Liste wieder A und D (die an den Rändern), plus der Punkt B (der lokale Hochpunkt). Von den dreien hat B den größten y-Wert, B ist also gleichzeitig "lokales" und "globales" Maximum, wärend C nur ein "lokales", aber kein globales Minimum ist.
16.02.2014, 13:38	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, dass ich das jetzt verstanden habe. Ich dachte, dass ein Hochpunkt immer, wie ein Bogen aussehen muss und deshalb hat sich dieser Denkfehler auf alle Denkweisen verstreut. Dann hat doch quasi jede Funktion absolute Extremwerte oder?
16.02.2014, 14:07	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, fast jede Funktion, bis auf einige Ausnahmen wie zum Beispiel sowas hier: $\begin{eqnarray} f(x)=2 \cdot x, \quad ,D_f=\mathbb R \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x)= 5 \quad , D_f= \left\{ x \in \mathbb R \| -3 \leq x \leq 3 \right\} \end{eqnarray}$ Aber im großen und ganzen hast Du recht, bei den "normalen" Funktionen, also solchen mit irgendwie gebogenen Graphen, findest Du immer absolute Extrempunkte (jedenfalls, wenn die zu untersuchenden Intervalle endlich sind, wie in Deiner Aufgabe).
16.02.2014, 14:19	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es endlich verstanden. Jetzt noch die letzte Aufgabe oder?
16.02.2014, 14:25	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar, jetzt noch den letzten Teil, den mit dem Dreieck. Ich habe eine Skizze gemacht. Soll ich die mal posten? Oder möchtest Du lieber erstmal so die Aufgabe rechnen? Wäre beides in Ordnung.
16.02.2014, 14:29	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre sehr nett von dir, wenn du deine Zeichnung postest, damit ich ein Bild davon habe, wie man sowas macht, weil ich noch nie eine Extremalaufgabe gelöst habe^^
16.02.2014, 14:32	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Muß dann mal kurz meine Festplatte quälen. Bild kommt gleich.
16.02.2014, 14:38	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem So, hier ist das Bild. Du erkennst den Halbkreis, an dem wir die ganze Zeit rumrechnen, und das Dreieck (ähem, den Punkt P hab ich natürlich absichtlich ein bischen falsch platziert, damit man die Lösung nicht einfach aus der Graphik abliest).
16.02.2014, 14:48	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
. 1.Ich denke, dass es zwei Wege gibt, den maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, einen schweren und einen einfachen Weg. Ich versuche das zu erläutern. Da wir es mit einem Halbkreis zu tun haben, können wir mit der ganz normalen Flächenformel, die Fläche bestimmen, dabei brauchen wir den Radius und der Radius beträgt in dem Fall drei. Man könnte nun Theoretisch den Flächeninhalt dieses Dreiecks bestimmen, weil man die Höhe und die Grundseite hat, weil man die Höhe mit dem Satz des Pythagoras bestimmen kann. 2. Die Flächenformel für ein Dreieck war: $\begin{eqnarray} \frac{x \cdot f(x)}{2}=A\Big(x~;~f(x)\Big) \end{eqnarray}$ Ableiten und schauen, wo der Flächeninhalt maximal wird. Ich hoffe, dass meine Gedanken einigermaßen korrekt sind ^^.
16.02.2014, 15:02	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm..., der erste Gedanke ist nicht so gut, dafür ist der zweite umso besser. Zum ersten Gedanken: Wenn wir mit dem Halbkreis rechnen wollen, dann müssten wir erst einmal beweisen, daß es sich auch wirklich um einen Halbkreis handelt. Das würde dann formelmäßig ziemlich aufwändig (schreibt man "aufwändig" jetzt mit eigentlich mit "ä" oder mit "e", ich weiß es nicht). Dann müßten wir noch irgendwie die Halbkreisfläche mit der des Dreiecks verquicken, eine Formel finden, Ableitung bilden, Maximum finden, .... Alles seeehr kompliziert. Viel einfacher, und deshalb auch viel besser, ist Dein Plan B. Da hast Du ja schon die Flächenformel hingeschrieben. Setze einfach einmal den Term von f(x) in Deine Formel ein und vereinfache dann Dein Ergebnis für A(x).
16.02.2014, 15:13	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. $\begin{eqnarray} \frac{x \cdot f(x)}{2}=A\Big(x~;~f(x)\Big) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{6x-x^{2}}=A(x) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \frac{ \sqrt{6x-x^{2}}}{2}-\frac{x^{2}-3x}{2 \cdot \sqrt{6x-x^{2}}}=A'(x) \end{eqnarray}$ Nun muss man $\begin{eqnarray} A'(x)=0 \end{eqnarray}$ Allerdings weiß ich nicht, wie man A'(x) nach x umstellt. I
16.02.2014, 15:24	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Dich da bei Ableitung verhaspelt. Tip: bring das x erst einmal unter die Wurzel, dann den neuen Radikanden ausmultiplizieren, und zum Schluß mit der Kettenregel ableiten. $\begin{eqnarray} \mathrm A(x) = \frac{1}{2} x \sqrt{6x-x^2} = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 \cdot (6x-x^2)} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{....?} \end{eqnarray}$ und erst jetzt ableiten.
16.02.2014, 15:31	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathrm A(x) = \frac{1}{2} x \sqrt{6x-x^2} = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 \cdot (6x-x^2)} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6x^3-x^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A'(x)=\frac{-x^{2} \cdot (2x-9)}{2 \cdot \sqrt{-x^{3} \cdot (x-6)}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A'(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x-9=0 \to x= \frac{9}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt muss es stimmen ^^
16.02.2014, 15:36	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steigungsverhalten , Tangente, Volumen, Extremalproblem Und das stimmt mal wieder. Welche Koordinaten haben also die Punkte P und Q? (das war die Frage aus Teil d)
16.02.2014, 15:39	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
P(0\|0) und Q(9/2\|f(9/2)) Würde ich jetzt sagen^^
16.02.2014, 15:45	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen: $\begin{eqnarray} O=(0\|0) \quad P=(\frac{9}{2}\|0) \quad Q=(\frac{9}{2}\|\frac{3 \sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray}$
16.02.2014, 15:48	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh ja. Stimmt. Wir hatten "ja" drei Punkte. Und ich habe auch verstanden, warum du genau diese Koordinaten genommen hast Ich will mich herzlich bei dir bedanken. Du hast mir sehr geholfen und ich habe eine Menge dazu gelernt Ich freue mich schon aufs nächste mal^^ Schönen Tag noch
16.02.2014, 15:53	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
War mir ein Vergnügen. Das macht Spaß, mit Dir zu rechnen. Ich hab hier noch eine Zusatzaufgabe für Dich. Hier ist die Gleichung eines Kreises mit M=(3\|0) und Radius 3: $\begin{eqnarray} (x-3)^2+(y-0)^2=3^2 \end{eqnarray}$ Stell die doch mal nach y um, und vergleiche das Ergebnis mit Deiner Funktion f(x) bis die Tage
16.02.2014, 17:31	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (x-3)^2+(y-0)^2=3^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2}-6x+9+y^{2}=9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y^{2}=x^{2}-6x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\sqrt{x^{2}-6x} \end{eqnarray}$ Ich komme auf die gleiche Funktion. Wie bist du auf diese Gleichung gekommen^^

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