Kurvendiskussion: Wurzelfunktion

16.02.2014, 17:42

Bonheur

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Kurvendiskussion: Wurzelfunktion

Gegeben ist die Kurvenschar $\begin{eqnarray*} f_a(x)=a \cdot \sqrt{x-a^{2}}, a>0 \end{eqnarray*}$ .
a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge an und untersuchen Sie $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ auf Nullstellen und Extrema.
b) Wie verhält sich f'_a für $\begin{eqnarray*} x \to a^{2} \end{eqnarray*}$ ?
c) Welche Ursprungsgerade g ist Tangente an den Graphen von f_1? Geben Sie auch die Koordinaten des Berührpunktes an.
d)Die Graphen von f_1 und f_2 schließen mit der x-Achse ein Flächenstück ein. Berechnen Sie dessen Inhalt.
e) Bestimmen Sie allgemeint den Schnittpunkt von f_1 und f_a. Berechnen Sie den Inhalt A des Flächenstücks, das von den Graphen von f_1,f_a und der x-Achse begrenzt wird. Begründen Sie: Ist der Parameter a ganzzahlig, so ist auch der Flächeninhalt A ganzzahlig.

Idee:

Erstmal zu a)
Ich würde den Definitionsbereich so definieren.

$\begin{eqnarray*} D_f=\left\{x \in \mathbb{R}|x \neq a|x>0\right\} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank smile

smile

16.02.2014, 18:59

10001000Nick1

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Wieso darf x nicht gleich a sein? Und ist die Wurzel wirklich für alle x>0 definiert?
Was muss denn gelten, damit die Wurzel (im Reellen) definiert ist?

16.02.2014, 19:40

Bonheur

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Ich habe einen Denkfehler. Ich hatte gedacht, dass wenn a identisch mit x ist, dass der Wert unter der Wurzel immer negativ ist. Dann muss man eigentlich bloß definieren, dass x nicht größer als a sein darf.

$\begin{eqnarray*} D_f=\left\{x \in \mathbb{R}|x < a\right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss er einigermaßen stimmen oder?

16.02.2014, 19:46

10001000Nick1

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Und wie kommst du darauf, dass x nicht größer als a sein darf?
Der Radikand muss doch größer/gleich 0 sein.

16.02.2014, 19:48

Bonheur

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smile

Stimmt.

Hmm, dann kann man doch eigentlich jede Zahl für x und a einsetzen. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} D_f=x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

16.02.2014, 19:51

10001000Nick1

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Nein. Wenn beispielsweise a=1 und x=0 ist, dann ist $\begin{eqnarray*} x-a^2=-1<0. \end{eqnarray*}$

Wie wär's denn beispielsweise mit $\begin{eqnarray*} D_f=\left\{x \in \mathbb{R}|x\geq a^2\right\} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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16.02.2014, 20:01

Bonheur

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Ja.

smile

Das hört sich doch gut an. smile

smile

Stimmt, wenn wir das nicht erlauben, ist der Wert unter der Wurzel immer positiv und wir haben das Problem gelöst.

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=a \cdot \sqrt{x-a^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow f_a(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a \cdot \sqrt{x-a^{2}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \sqrt{x-a^{2}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow x-a^{2}=0 \to x=a^{2} \end{eqnarray*}$

So hier?

16.02.2014, 20:02

10001000Nick1

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Richtig.

16.02.2014, 20:05

Bonheur

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Juhu^^

Extrema:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=a \cdot \sqrt{x-a^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=\frac{a}{2 \cdot \sqrt{x-a^{2}}} \end{eqnarray*}$ --> Kein Extrema smile

smile

oder?

16.02.2014, 20:06

10001000Nick1

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Auch richtig.

16.02.2014, 20:12

Bonheur

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Jetzt zu b).

Ich mag solche Aufgaben nicht, da wo man irgendwelche Verhältnisse nachsehen muss.

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=\frac{a}{2 \cdot \sqrt{x-a^{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a^{2}}f'_a(x)=undefiniert; geht nicht \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass man hier den Defintionsbereich miteinbeziehen kann, weil wenn sich x, a^{2} annähert, dann nähert sich f'_a(x) dem nicht definierten bereich, würde ich jetzt behaupten.

Man kann auch die Probe machen: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{x-a^{2}}=0 \to x=a^{2} \end{eqnarray*}$ d.h dass $\begin{eqnarray*} x \neq a^{2} \end{eqnarray*}$ sein muss.

16.02.2014, 20:20

10001000Nick1

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Du hast Recht, dass die Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=a^2 \end{eqnarray*}$ nicht existiert. Aber trotzdem kann der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a^2} \frac{a}{2 \cdot \sqrt{x-a^{2}}} \end{eqnarray*}$ existieren.

Der Nenner geht ja gegen 0, der Zähler ist konstant größer 0. Gegen was strebt dann der Quotient?

16.02.2014, 20:24

Bonheur

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Ich vermute, dass a erstmal kleiner null sein muss, damit man sich einen definierten Bereich ansehen kann und wenn dann der Nenner gegen null strebt, liegt der Grenzwert bei null, weshalb man eigentlich wieder einen nicht definierten Bereich bekommt, weil der Nenner null ist ; also gegen unendlich oder? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{0}=\infty \end{eqnarray*}$ oder?

16.02.2014, 20:31

10001000Nick1

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RE: Kurvendiskussion:Wurzelfunktion

Zitat:

Original von Bonheur
Gegeben ist die Kurvenschar $\begin{eqnarray*} f_a(x)=a \cdot \sqrt{x-a^{2}}, \textcolor{red}{a>0} \end{eqnarray*}$

Wieso vermutest du, dass a<0 ist?
Wie du jetzt genau darauf gekommen bist, weiß ich nicht, aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a^2} \frac{a}{2 \cdot \sqrt{x-a^{2}}}=\infty \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls richtig.

Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{0}=\infty \end{eqnarray*}$ oder?

Sowas solltest du allerdings nicht schreiben.

16.02.2014, 20:35

Bonheur

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Meine Vermutung war ein Schuss in den Ofen^^.

Wenn der Nenner gegen null strebt und der Zähler konstant größer null ist, dann strebt f'_a(x) gegen unendlich. oder?

16.02.2014, 20:37

10001000Nick1

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Ja. Man muss nur aufpassen, ob der Nenner "von oben" oder "von unten" gegen 0 strebt. Hier strebt der Nenner von oben gegen 0, ist also positiv, und deswegen strebt der Quotient gegen $\begin{eqnarray*} +\infty. \end{eqnarray*}$
Würde der Nenner von unten gegen 0 streben, wäre er also negativ, dann würde der Quotient gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ streben.

16.02.2014, 20:43

Bonheur

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Verstehe. Muss ich mir merken. smile

smile

ok zu c)

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=\sqrt{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(0|0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_1(x)=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x-1}} \end{eqnarray*}$

Muss ich für 0 einsetzen?

16.02.2014, 20:49

10001000Nick1

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Nein, da musst du nicht 0 einsetzen. Kannst du auch gar nicht, weil dann der Radikand negativ wäre.

Nehmen wir mal an, der Berührpunkt ist $\begin{eqnarray*} (x_0, f(x_0)). \end{eqnarray*}$ Dann muss ja die Tangente durch den Ursprung und durch diesen Berührpunkt gehen. Welche Gleichung hat dann diese Tangente?

Was muss denn außerdem an dem Berührpunkt für die Anstiege der Tangente und der Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ gelten?

16.02.2014, 20:54

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} P_1\Big(0\bigg|0\Big) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_2\Big(x \bigg|f(x)\Big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=\frac{f(x)-0}{x-0} \end{eqnarray*}$

Wie soll man eine Tangente bestimmen, da wo kein exakter Punkt gegeben ist verwirrt

verwirrt

.

Berührpunkt: $\begin{eqnarray*} f'_1(x)=t'(x) \end{eqnarray*}$

so ?

16.02.2014, 21:04

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bonheur
Wie soll man eine Tangente bestimmen, da wo kein exakter Punkt gegeben ist verwirrt

verwirrt

.

Den willst du ja jetzt ausrechnen.

Zitat:

Original von Bonheur
Berührpunkt: $\begin{eqnarray*} f'_1(x)=t'(x) \end{eqnarray*}$

Genau. Du hast ja den Anstieg der Tangente und den Anstieg der Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ schon berechnet. Daraus kannst du jetzt die x-Koordinate des Berührpunkts bestimmen.

16.02.2014, 21:09

Bonheur

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Genau. Du hast ja den Anstieg der Tangente und den Anstieg der Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ schon berechnet. Daraus kannst du jetzt die x-Koordinate des Berührpunkts bestimmen.

Meinst du das:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{f(x)-0}{x-0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_1(x)=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x-1}} \end{eqnarray*}$

So hier?

16.02.2014, 21:12

10001000Nick1

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Ja. Und jetzt nach x umstellen.

16.02.2014, 21:19

Bonheur

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Juhu

smile

.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \frac{x-1}{x}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow x-1=\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow 2x-2=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow x=2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} P_1\left(2|1\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Tangente aufstellen oder?

16.02.2014, 21:23

10001000Nick1

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Alles richtig. smile

smile

16.02.2014, 21:30

Bonheur

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Juhu.

smile

$\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x)=m \cdot \left(x-x_0\right)+y_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x)=\frac{1}{2} \cdot \left(x-2\right)+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x)=\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

[attach]33251[/attach]

Ist bei aufgabe d) Dieser Flächeninhalt gesucht, den ich versucht habe zu markieren smile

smile

16.02.2014, 21:32

10001000Nick1

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Ja.

16.02.2014, 21:42

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1}=f_1(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{x-4}=f_2(x) \end{eqnarray*}$

Ich benötige dafür den Schnittpunkt:

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=f_2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1}=2 \cdot \sqrt{x-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=4 \cdot (x-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=4x-16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15=3x \to x=5 \end{eqnarray*}$

Daraus kann man folgenden Ansatz für die Fläche machen:

$\begin{eqnarray*} \left(\int\limits_1^{5} \! f_1(x)~dx\right)-\left(\int\limits_4^{5} \! f_2(x)~dx\right)=A \end{eqnarray*}$

oder? smile

smile

16.02.2014, 21:44

10001000Nick1

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Und wieder mal ist alles richtig. smile

smile

16.02.2014, 21:54

Bonheur

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Juhu. Ich mache Fortschritte. smile

smile

ok. Jetzt die letzte Aufgabe. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1}=a \cdot \sqrt{x-a^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=a^{2} \cdot \left(x-a^{2}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=a^{2} \cdot x-a^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1+a^{4}=a^{2} \cdot x \end{eqnarray*}$

Kürzt sich hier nicht x raus, dann habe ich keine Lösung für x verwirrt

verwirrt

Habe ich einen Denkfehler?

16.02.2014, 21:58

10001000Nick1

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Auf der rechten Seite steht doch eine Multiplikation, auf der linken Seite eine Addition. Wie soll sich das x da rauskürzen?

16.02.2014, 22:01

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} x-1+a^{4}=a^{2} \cdot x \end{eqnarray*}$

Naja, wenn ich x auf die andere Seite bringe

$\begin{eqnarray*} -1+a^{4}=a^{2} \cdot x -x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-1+a^{4}}{a^{2}}=x-x \end{eqnarray*}$

oder?

16.02.2014, 22:04

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} -1+a^{4}=a^{2} \cdot x -x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-1+a^{4}}{a^{2}}=x-x \end{eqnarray*}$

Wenn du durch $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ dividierst, dann musst du das bei allen Summanden machen, und dann steht da $\begin{eqnarray*} \frac{-1+a^{4}}{a^{2}}=x-\frac{x}{a^2}. \end{eqnarray*}$

Hier braucht man aber gar nicht durch $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ dividieren. Klammere lieber in der Gleichung $\begin{eqnarray*} -1+a^{4}=a^{2} \cdot x -x \end{eqnarray*}$ x aus.

16.02.2014, 22:11

Bonheur

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Verstehe.

$\begin{eqnarray*} -1+a^{4}=a^{2} \cdot x -x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1+a^{4}=x \cdot (a^{2}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow 1+a^{2}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1\bigg(1+a^{2}\bigg| |a|\bigg) \end{eqnarray*}$

Welchen Flächeninhalt muss ich bestimmen ? Seit wann kann man einen Flächeninhalt mit einer Parameterfunktion bestimmen ? verwirrt

verwirrt

16.02.2014, 22:15

10001000Nick1

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Die Betragsstriche kannst du ruhig weglassen. Ist zwar nicht falsch, aber überflüssig.

Obern hattest du ja schon mal die Fläche zwischen $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ berechnet. Jetzt hast du eben statt $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ , also ein beliebiges a. Der Flächeninhalt wird dann von a abhängen.
Die Flächenberechnung geht so ähnlich wie du es oben schon gemacht hast, bloß mit anderen Integrationsgrenzen (die können auch von a abhängen). Die musst du dir jetzt überlegen.

16.02.2014, 22:23

Bonheur

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Ich tendiere zu der Annahme, dass man den Punkt mit einbeziehen muss. Da a>0 gelten muss, behaupte ich, dass meine untere Grenze eins ist und die Schnittstelle liegt bei 1+a^{2}

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{1+a^{2}} \! f_a(x)-f_1(x)~dx \end{eqnarray*}$

so?

16.02.2014, 22:30

10001000Nick1

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Am besten machen wir erstmal den Fall a>1.

So einfach, wie du es machst, ist das nicht. Denn $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ ist ja gar nicht auf dem ganzen Intervall definiert, über dem du das Integral bilden möchtest.
Du musst es so wie oben machen. Die Fläche unter $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{1+a^{2}} \! f_1(x)~dx. \end{eqnarray*}$ Davon musst du jetzt aber noch etwas abziehen.

16.02.2014, 22:36

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{1+a^{2}} \! f_1(x)~dx-\int\limits_{a}^{1+a^{2}} \! f_a(x)~dx \end{eqnarray*}$

Dann sei x=a .

Würde das funktionieren?

16.02.2014, 22:40

10001000Nick1

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Bei dem zweiten Integral stimmt die untere Grenze nicht. Da muss ja die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ stehen. Und das ist $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ (das hattest du schon berechnet).

16.02.2014, 22:43

Bonheur

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Ja.

smile

Hatte genau den gleichen Gedanken. War bloß zu Faul und habe nicht nachgesehen, wo die Nullstelle ist.

Ich muss jetzt meine Tasche für Morgen vorbereiten, weil ich morgen Schule habe.

Ich möchte mich herzlich bei dir bedanken. Du hast mir eine Menge beigebracht und hast mir viele neue Ideen gezeigt.

Ich wünsche dir noch eine schöne, angenehme Nacht smile

smile

)))))

Wink

16.02.2014, 22:46

10001000Nick1

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Eigentlich müssten wir die Integrale jetzt noch für den Fall 0<a<1 aufstellen. Aber wenn du wegmusst, dann lassen wir das jetzt. Das solltest du auch selbst hinkriegen.

Gute Nacht! Wink

Wink

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