Basis eines Eigenraumes

17.02.2014, 23:54

GOLFMKI

Basis eines Eigenraumes

Ermitteln Sie für die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

alle Eigenwerte und jeweils eine Basis des dazugehörigen Eigen(unter)raums.
Geben Sie die algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts an.
Existiert eine Basis des R3 aus Eigenvektoren von A ? (Begründung!)

Eigenwerte, Nullstellen des charakteristischen Polynoms: x1= 2 , x2,3 = 3 .
x1 besitzt als einfache Nullstelle die algebraischer Vielfachheit 1.
x2,3 besitzt als doppelte Nullstelle die algebraischer Vielfachheit 2.

Wie bestimme ich eine Basis des Eiegenraumes? Meine Überlegung die lambda Werte getrennt einsetzen, mit Gauß umformen, aber dann hab ich folgendes für x1= 2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was bringt mir das nun?

Die Basis des R³ aus Eigenvektoren besteht dann wenn alle Eigenvektoren linear unabhängig sind, oder?

Gruß
Pat.

Edit (Helferlein): Latexklammern eingefügt

18.02.2014, 08:15

micha_L

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RE: Basis eines Eigenraumes
Hallo,

du hast also ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem, d.h. im Endeffekt weniger Gleichungen als Variablen. Da die eine Gleichung doppelt vorkommt, liefert sie dir keine echt neue Information, wird also nur einmal gezählt.

Informier dich doch, wie man solche Systeme lösen kann.
Sicher war es in der Übung dran. (Früher war das mal Schulstoff!)

Mfg Michael

18.02.2014, 19:16

GOLFMKI

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mit lambda 2: Zusammen mit beliebigem v1 = t sind v2 = 0 und v3 = t Lösungen des homogenen
Systems. somit ist die Basis des Eigenraums (1 / 0 / 1) = meinem EV?

mit lambda 3:Zusammen mit beliebigem v1 = s und v3 = r ist v2 = s Lösung des homogenen
Systems. hier lautet das Erbgebnis: (1/1/0) und (0/0/1) = meiner EV?

Die Rechnung an sich müsste richtig sein.... Ist das denn richtig, dass meine Basis immer gleich den Eigenvektoren ist?
Ich dachte das wäre nur bei symmetrischen Matrizen so?! Stehe ein wenig auf dem Schlauch wie ich am besten die Basis von Eigenräumen berechnen kann bzw. im Anschluss das Bild eines Eigenraumes und die Basis Bild (E) eines Eigenraumes.

Und wie sehe ich nun ob meine Eigenvektoren eine Basis des R³ erzeugen?

Ich würde mich sehr freuen wenn sich jemand die Zeit nimmt und es einmal ausführlich beschreiben kann wie ich hier am besten vorgehe.

LG
Pat.

19.02.2014, 08:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von GOLFMKI
Ist das denn richtig, dass meine Basis immer gleich den Eigenvektoren ist?

Basis von was? Du mußt deine Fragen etwas genauer stellen.

Zitat:

Original von GOLFMKI
Und wie sehe ich nun ob meine Eigenvektoren eine Basis des R³ erzeugen?

Wenn die geometrische Vielfachheit (= Dimension des Eigenraums) von jedem Eigenraum gleich der algebraischen Vielfachheit des zugehörigen Eigenwerts ist.

19.02.2014, 12:57

GOLFMKI

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Zitat:

Basis von was? Du mußt deine Fragen etwas genauer stellen.

1) Ich meine die Basis des Eigenraumes. Die müsste doch theoretisch immer gleich der Eigenvektoren sein die den Eigenraum aufspannen , oder? (So müsste bei einer Geraden die Basis der Richtungsvektor sein?!)

2) kern(E) = (den Kern des Eigenraumes) ist gleich dem Stützvektor des Eigenraumes, oder? Da für den Kern das LGS Ax=0 gelöst werden muss.

3)Wie berechnet man eine Basis Bild von E(A,2)? Meine Überlegung: rg = dimBild(A) = 2
Daher ensteht die Basis des Bildes von (A) aus zwei lin. unabhängigen Spaltenvektoren
hier für lamdawert 2: (-1 / 0 / 0 ) und (1 / 1 / 0) -> ist das richtig?

Ich hoffe ich habs verständlich formuliert. smile

LG
Pat.

19.02.2014, 13:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von GOLFMKI
1) Ich meine die Basis des Eigenraumes. Die müsste doch theoretisch immer gleich der Eigenvektoren sein die den Eigenraum aufspannen , oder?

Ja. Wobei es "die Basis" in eigentlichen Wortsinne nicht gibt. smile

Zitat:

Original von GOLFMKI
2) kern(E) = (den Kern des Eigenraumes) ist gleich dem Stützvektor des Eigenraumes, oder? Da für den Kern das LGS Ax=0 gelöst werden muss.

Den Begriff "Kern des Eigenraumes" gibt es meines Erachtens nicht. Der Eigenraum ist der Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} (A - \lambda \cdot E) \end{eqnarray*}$ , wobei lambda ein Eigenwert ist.

Zitat:

Original von GOLFMKI
3)Wie berechnet man eine Basis Bild von E(A,2)? Meine Überlegung: rg = dimBild(A) = 2
Daher ensteht die Basis des Bildes von (A) aus zwei lin. unabhängigen Spaltenvektoren
hier für lamdawert 2: (-1 / 0 / 0 ) und (1 / 1 / 0) -> ist das richtig?

Vielleicht verstehe ich da was falsch, aber das Bild eines Eigenraums ist doch der Eigenraum selbst. Folglich ist die Basis des Eigenraums auch die Basis seines Bildes.

19.02.2014, 13:41

David Steiman

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hoi,

die Basis bestimmt sich, in dem du den Kern von der Matrix abzüfglich lambda * Einheitsmatrix berechnest.

Erläuterung an Beisspiel lambda 1:

Der ER wird Bestimmt durch

$\begin{eqnarray*} Kern(A - \lambda_1 * I^{3} ) \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} Kern(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} ) = Kern(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Das dann in NZSF mit Gauß:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun notierst du die Kopfvariablen und Nicht-Kopfvariablen:

KV: x1 und x2
NKV: x3

und ersetzt die NKV durch beliebige Skalare, also

x3 = s

Weiter:
$\begin{eqnarray*} x_1 - s = 0 \Rightarrow x_1 = s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Somit erfüllen alle Vektoren der Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s \\ 0 \\ s \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = span \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

das LGS. An der Span schreibweise siehst du, dass der ER zu lambda 1 von einem Vektor aufgespannt wird.

Das heißt: Die Basis von ER zu lambda 1 lautet:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Das gleiche machst du nun für die anderen EW. Sollte nach gleichen Verfahren eine Basis rauskommen, die durch 3 Basis Vektoren aufgespannt wird, die auch jeden anderen Vektor aus R3 aufspannen können, dann existiert ein ER mit einer solchen Basis für die gegebene Matrix

Gruß

19.02.2014, 14:04

GOLFMKI

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Zitat:

Den Begriff "Kern des Eigenraumes" gibt es meines Erachtens nicht. Der Eigenraum ist der Kern der Matrix , wobei lambda ein Eigenwert ist.

Zitat:

Vielleicht verstehe ich da was falsch, aber das Bild eines Eigenraums ist doch der Eigenraum selbst. Folglich ist die Basis des Eigenraums auch die Basis seines Bildes.

Also kann man bei einem Eigenraum höchstens die Basis berechnen. Nein, du hast nichts falsch verstanden, ich war nur etwa übermotiviert und wollte den Kern und das Bild von dem Eigenraum berechnen. Somit ist die Dimension des Kerns folglich gleich der Anzahl an Eigenvektoren die einen Eigenraum aufspannen?

Vielen Dank an David Steinman & klarsoweit für eure helfe! Fettes Danke! Gott

Ps. Was bedeutet NZSF Gauß?

19.02.2014, 14:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von GOLFMKI
Somit ist die Dimension des Kerns folglich gleich der Anzahl an Eigenvektoren die einen Eigenraum aufspannen?

Auch hier ist eine exakte Formulierung nötig. Kern von was?

19.02.2014, 14:20

GOLFMKI

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Zitat:

Auch hier ist eine exakte Formulierung nötig. Kern von was?

Kern des Eigenraumes, den es eigentlich nicht gibt. Aber da der Kern des Eigenraumes der Eigenraum selber ist, müsste die dimension des Kerns = der Anzahl der vorkommenden Eigenvektoren sein.

19.02.2014, 14:51

David Steiman

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Möglicherweise rede ich grad Bullsh... aber meines erachtens nach sind die Begriffe "Kern" und "Bild", Begriffe die im Zusammenhang mit Abbildungen verbunden sind (nicht nur lineare)

Wenn wir nun vom Bild und Kern einer Matrix sprechen, so scheint dies der Aussage zunächst zu widersprechen. Da wir aber wissen, dass diese Matrix eine alternative Darstellung einer linearen Abbildung ist, wenden wir auch diese Begriffe an.

Der Eigenraum ist wie schon gesagt: ein Vektorraum, also eine Menge von bestimmten Vektoren. Um zu bestimmen, was für Vektoren der Raum beinhaltet, brauchen wir mehrere Vektoren in einem System (Erzeugendensystem), durch dessen Linearkombination dann ein beliebiger Vektor des Raumes dargestellt werden kann. Mit anderen Worten: wir spannen durch diese Vektoren den Raum auf. Das alles ändert aber nichts an der Tatsache, das der Vektorraum nachwievor eine Menge von Vektoren ist, die wir auf diese Weise klassifizieren.

Um mögliche Fragen auch noch zu Beantworten: Die Begriffe Kern, Bild, Eigenraum sind alles auch Mengen und Vektorräume (keine Abbildungen), die den einzelnen Begriffen durch ihre Eigenschaften verkörpern. In der linearern Algebra lassen sich diese Mengen durch Basisvektoren aufspannen, dessen Anzahl gleich der Dimension ist.

Vllt verschafft dir mein Text, sofern ich da nix groß verkehrtes geschrieben habe, Klarheit zu den einzelnen Begriffen und wie sie zusammenhängen, da ich den Anschein habe, dass du die etwas durcheinander gebracht hast smile

19.02.2014, 21:41

GOLFMKI

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Alles verstanden, dank dir! Wink

Die Klausur kann kommen Hammer

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