Beweis, dass G' eine Untergruppe ist |
| 18.02.2014, 00:49 | eisverticker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis, dass G' eine Untergruppe ist Sei (G,) eine endliche Gruppe und G' eine nicht leere Teilmenge von G. Folgendes ist zu beweisen: ist Untergruppe von , wenn gilt Außerdem wird noch gefragt, ob die Aussage auch gilt, wenn es eine unendliche Gruppe ist. Ich dachte mir erstmal, ich muss gucken, ob die Vorraussetzung (in diesem Fall der hintere Teil der Behauptung) impliziert das G' eine Untergruppe ist, also folgende Eigenschaften nachzuweisen sind:
Ok da dachte ich jetzt, das neutrale Element ist ja die Identische Abbildung und die ist ja demzufolge auch enthalten, da es das Element selber ist, weiterhin gilt das 2. ja sowieso aus der Vorraussetzung und das 3. weiß ich nicht so recht, das ist ja irgendwie die Umkehrabbildung, aber kp wie ich das nachweisen kann. Allgemein gefragt, was ist denn bei endlichen Gruppen anders als bei Unendlichen, wenn es um solche Beweise geht? |
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| 18.02.2014, 08:11 | micha_L | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis das G' eine Untergruppe ist Hallo,
Was die zu zeigenden Punkte anbelangt, hast du recht. Aber schon mit dem neutralen Element geht's los:
Wieso ist das neutrale Element eine Abbildung? Und wieso gerade die identische Abbildung? Und wieso würde das implizieren, dass sie Element der nicht näher spezifizierten Teilmenge ist? Ich fürchte, dass du allein wegen der Interpretation "Elemente sind Abbildungen" schief liegst (oder die Aufgabenstellung nicht vollständig angegeben hast) und nochmal nachdenken musst. Zur Hilfe: Die einzigen beiden Infos über sind? Die musst du konkret nutzen! Alles weitere (unendliche Gruppe) machen wir dann später! Mfg Michael |
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| 18.02.2014, 08:15 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis das G' eine Untergruppe ist hallo, es gilt ja hier zu beweisen, dass die hiier beschriebene teilmenge eine untergruppe bildet. Dass wenn man 2 elemente verknüpft das ergebnis auch in der teilmenge liegt, ist ja schon gegeben. Es ist also noch zu zeigen, dass es auch immer ein neutrales und inverses element gibt. Das kann man elegant beweisen, wenn man weiss, das bei einer endlichen gruppe der ordnung n für jedes element a immer gilt n*a=0. Das ist übrigens auch der springende punkt, warum das bei unendlichen mengen nicht mehr funktioniert. Dann überleg mal weiter... gruss ollie3 |
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| 18.02.2014, 10:51 | eisverticker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok da hab ich mich geirrt, war irgendwie der Meinung die angegeben Operation ist die Komposition, da wir da auch immer dieses Zeichen genommen haben. Daher sind die einzigen Infos über G', das |G'|>0 und endlich ist
Ich weiß nicht so ganz wie ich die Gleichung interpretieren kann, denn n bzw. 0 müssen doch keine Elemente von G' sein, stehe bissel auf der Leitung vermute ich, komme gerade nicht weiter. |
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| 18.02.2014, 11:53 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, alsio, wir nehmen uns ein element aus der teilmenge und verknüpfen es n-1 mal mit sich selbst, und wir wissen, das die zwischenergebnisse auch alle in unserer teilmenge liegen. So stossen wir dann zum schluss auf das neutrale element, und das wollten wir ja beweisen, dass das auch in unserer teilmenge liegen muss. Ähnlich beweist man das mit dem inversen element. gruss ollie3 |
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| 18.02.2014, 16:51 | eisverticker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke bisher für die Antworten, das hat schon mal sehr geholfen. Woher kommt diese Gleichung denn? Durch den Satz von Lagrange? Hab bei Wikpedia auch was von p-Gruppen gelesen. Und wenn dann müsste ja das Inverse sein oder? denn Ist das n eigentlich immer die Ordnung der Gruppe? hab irgendwo Ordnung des Elements gelesen, wüsste aber nicht was das sein sollte |
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| 18.02.2014, 17:27 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, das mit dem inversen element hast du genau richtig erkannt 
Und man spricht sowohl von der ordnung einer gruppe (das ist einfach die anzahl der elemente) als auch von der ordnung eines gruppenelementes, das ist die kleinste potenz, mit der ein gruppenelement potenziert gleich 1 wird. gruss ollie3 |
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