algebraische Vielfachheit und geometrische V.

19.02.2014, 10:58

Theend9219

algebraische Vielfachheit und geometrische V.

Hallo alle zusammen Augenzwinkern

,

ich habe eine Frage bzgl. geometrischer und algebraischer Vielfachheit.
Ich habe die algebraische Vielfachheit so verstanden, dass dies die Anzahl der Nullstellen des charakt. Polynoms sind die gleich sind. Also gibt es 3 untersch. Nullstellen ist die algebra. Vielfachheit 3. Nun steht in meinem Skript: Matrix A habe die Eigenwerte -1 (mit Vielfachheit 1) und 1 (mit Vielfachheit 2). Das ist mir unklar, da es ja zwei verschiedene Eigenwerte sind, müsste es dann nicht insgesamt die algebraische Vielfachheit 2 besitzen?. Oder ist es so gemeint, das wenn ein Polynom so in Linearfaktoren zerfällt, das ich die Darstellung (x-2)^(2)(x-1) z.B habe? sodass 2 dann eine doppelte Nullstelle ist? Die geom. Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums. Das verstehe ich leider nicht, da der Eigenvektor ja jeweils die Basis des Eigenraums ist.

Ich hoffe jemand kann mir diese zwei Begriffe noch mal ganz einfach verdeutlichen..
Vielen lieben Dank
Liebe Grüße

19.02.2014, 11:33

Helferlein

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RE: algebraische Vielfachheit und geometrische V.
Du widersprichst Dir selber:

Zitat:

Original von Theend9219
... , dass dies die Anzahl der Nullstellen des charakt. Polynoms sind die gleich sind.

Das ist vollkommen richtig.

Zitat:

Original von Theend9219
Also gibt es 3 untersch. Nullstellen ist die algebra. Vielfachheit 3.

Wieviele von diesen drei verschiedenen sind denn gleich? Doch wohl jeweils nur eine.

Zitat:

Original von Theend9219
Oder ist es so gemeint, das wenn ein Polynom so in Linearfaktoren zerfällt, das ich die Darstellung (x-2)^(2)(x-1) z.B habe? sodass 2 dann eine doppelte Nullstelle ist?

Hier bist Du wieder richtig im Thema.

Zitat:

Original von Theend9219
Die geom. Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums. Das verstehe ich leider nicht, da der Eigenvektor ja jeweils die Basis des Eigenraums ist.

Es gibt nicht "den" Eigenvektor, solange wir uns im reellen (oder auch komplexen) bewegen und selten wird ein einzelner Vektor eine Basis des Eigenraums darstellen.
Die geometrische Vielfachheit ist - wie Du richtig geschrieben hast - die Dimension des Eigenraums und somit die Anzahl der benötigten Basisvektoren für diesen Raum. Sofern der Eigenraum nur eindimensional ist, stimmt deine Aussage (bis auf die Einschränkung mit der Eindeutigkeit des Eigenvektors). Sobald wir aber einen mehrdimensionalen Eigenraum haben, brauchst Du auch entsprechend mehr linear unabhängige Eigenvektoren.

Nehmen wir mal die Funktion f(x,y)=(x,x+y). Wie groß sind hier geometrische und algebraische Vielfachheiten der zur Abbildung gehörigen Eigenräume?

23.02.2014, 14:35

Theend9219

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RE: algebraische Vielfachheit und geometrische V.
Vielen Dank für deine Antwort, Helferlein.

Bezüglich deiner Frage : Wie groß sind hier geometrische und algebraische Vielfachheiten der zur Abbildung gehörigen Eigenräume?
und mit "die Anzahl der benötigten Basisvektoren für diesen Raum" würde ich sagen, dass bei f(x,y) genau zwei benötigt werden. Also in diesem Fall die geometrische Vielfachheit 2 ist .. Bei der algebraischen weiß ich leider nicht wie ich dort vorgehen muss.. Weil ich nicht weis, wie ich davon eine Nullstelle bestimme. Ich könnte nur als Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x+y = x+x+y = 2x +y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{1}{2}y \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße Shelly Augenzwinkern

23.02.2014, 15:12

Helferlein

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OK, anscheinend hast Du das Prinzip der Vielfachheiten doch noch nicht ganz verinnerlicht.

Die Darstellungsmatrix der Abbildung bzgl. der Standardbasis lautet $\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und hat offensichtlich nur den Eigenwert 1 (Ggf. nachrechnen!)

Die algebraische Vielfachheit ergibt sich aus dem charakterisitschen Polynom (Hier $\begin{eqnarray*} (t-1)^2 \end{eqnarray*}$ ), die geometrische aus der Dimension des Eigenraums.
Dieser ist wegen $\begin{eqnarray*} M-E=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \{(x,0)\} \end{eqnarray*}$ .

In diesem Beispiel ist also die algebraische Vielfachheit 2, die geometrische nur 1.
Beachte, dass sich die Vielfachheit immer auf einen einzelnen Eigenwert bezieht, nicht auf die komplette Abbildung oder den Vektorraum, in dem man sich bewegt.

05.03.2014, 13:14

Theend9219

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Hallo Helferlein,

vielen Dank für deine Antwort.

Aber warum rechnet man denn wegen der Dimension des Eigenraums $\begin{eqnarray*} M- E \end{eqnarray*}$ ? Das ist mir etwas unklar.

Liebe Grüße

05.03.2014, 16:43

Helferlein

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Das ergibt sich aus der Definition eines Eigenvektors.

$\begin{eqnarray*} Mv=\lambda~v \Leftrightarrow Mv-\lambda~v=0\Leftrightarrow (M-\lambda E)~v=0 \end{eqnarray*}$

Eigenvektoren sind also nichts anderes als Elemente des kerns von $\begin{eqnarray*} M-\lambda E \end{eqnarray*}$ .

09.03.2014, 09:32

Theend9219

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Ah stimmt! Vielen Dank Augenzwinkern

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