Polynom mit Hilfe seiner Nullstellen faktorisieren

19.02.2014, 12:35

brushmate

Polynom mit Hilfe seiner Nullstellen faktorisieren

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Polynome $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb Z_5[T] \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} p(T) & := & T^5 + 2T^4 + 2T^2 + 3T + 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(T) & := & T^2 + 2T + 2 \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie mittels Polynomdivision Polynome $\begin{eqnarray*} s,r \in \mathbb Z_5[T] \end{eqnarray*}$ , so dass gilt

$\begin{eqnarray*} p(T) & := & s(T) \cdot q(T) + r(T) \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ .

Faktorisieren Sie das Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit Hilfe seiner Nullstellen.

Kann mir jemand sagen, wie ich das Polynom faktorisiere?

Meine Ideen:
Die Polynomdivision ist kein Problem:

$\begin{eqnarray*} s(T) & := & T^3 + 3T + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r(T) & := & 0 \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen habe ich durch einsetzen herausgefunden:

$\begin{eqnarray*} p(0) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(2) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(3) = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(4) = 2 \end{eqnarray*}$

Aber wie faktorisiere ich das Polynom jetzt? Ich dachte, dass ich einfach für jede Nullstelle T minus Nullstelle multiplizieren muss. Also:

$\begin{eqnarray*} p(T) & := & (T - 1)(T - 2) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} T = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T = 4 \end{eqnarray*}$ bekomme ich dann aber nicht die richtigen Werte, sondern:

$\begin{eqnarray*} p(3) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(4) = 1 \end{eqnarray*}$

Es wäre nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!

19.02.2014, 13:58

HAL 9000

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Nun, T=1 und T=2 sind Nullstellen, also kannst du dein Polynom durch $\begin{eqnarray*} (T-1)(T-2)=T^2-3T+2=T^2+2T+2 \end{eqnarray*}$ dividieren. Und - merkwürdiger Zufall - das hast du ja in Teilaufgabe a) schon getan, mit Ergebnis $\begin{eqnarray*} T^3+3T+1 \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

Jetzt musst du von dem noch die Nullstellen bestimmen, wobei du natürlich nur T=1 und T=2 prüfen musst, die ja möglicherweise mehrfache (!) Nullstellen von deinem $\begin{eqnarray*} p(T) \end{eqnarray*}$ sind.

19.02.2014, 14:08

brushmate

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Okay, danke schonmal. Und wenn ich noch mehr Nullstellen finde, füge ich die auch einfach zu dem faktorisierten Polynom hinzu? Und was ist, wenn $\begin{eqnarray*} r(T) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist? Kann ich dann trotzdem einfach die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} s(T) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

Für $\begin{eqnarray*} s(T) \end{eqnarray*}$ sind die Nullstellen ebenfalls 1 und 2. Ich habe eine Lösung zu der Aufgabe, in der aber leider der Lösungsweg fehlt und die sagt, dass die Nullstellen des Polynoms 2, 2, 1, 1, 2 sind. Wie komme ich auf die dritte zwei?

19.02.2014, 14:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von brushmate
Und was ist, wenn $\begin{eqnarray*} r(T) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist?

Kommst nicht vor, wenn dein q(T) nur einfache Nullstellen hat, die sämtlich auch Nullstellen von p(T) sind: Dann geht die Polynomdivision nämlich auf, so wie hier im Thread gesehen!

19.02.2014, 14:21

brushmate

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Ich habe auch Aufgaben, bei denen die Polynomdivision nicht aufgeht. Und wie komme ich auf die fünfte Nullstelle?

19.02.2014, 15:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von brushmate
Ich habe auch Aufgaben, bei denen die Polynomdivision nicht aufgeht.

Solche irrelevanten Bemerkungen ärgern mich maßlos: Hast du dir meinen letzten Beitrag richtig durchgelesen? unglücklich

Ich hab von $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ mit bestimmten Eigenschaften gesprochen, nicht von beliebigen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Zitat:

Original von brushmate
Und wie komme ich auf die fünfte Nullstelle?

Wieso "fünfte"? Momentan sind wir erstmal bei zwei einfachen Nullstellen T=1 und T=2, als nächstes waren die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} T^3+3T+1 \end{eqnarray*}$ dran, zu denen du dich noch nicht geäußert hast. unglücklich

P.S.: Deinen EDIT von 14:12 des 14:08-Beitrags hatte ich oben noch nicht gelesen. Und ständig alte Beiträge nach eventuellen EDITs durchzusehen, mache ich nicht. Augenzwinkern

19.02.2014, 15:42

brushmate

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Deinen vorigen Post habe ich gelesen... In meinem Post davor schrieb ich:

Zitat:

Original von brushmate
Für $\begin{eqnarray*} s(T) \end{eqnarray*}$ sind die Nullstellen ebenfalls 1 und 2. Ich habe eine Lösung zu der Aufgabe, in der aber leider der Lösungsweg fehlt und die sagt, dass die Nullstellen des Polynoms 2, 2, 1, 1, 2 sind. Wie komme ich auf die dritte zwei?

Also das Einsetzen der Nullstellen von $\begin{eqnarray*} p(T) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} s(T) \end{eqnarray*}$ zeigt, dass sie auch Nullstellen von $\begin{eqnarray*} s(T) \end{eqnarray*}$ sind. Da die Lösung aber noch eine Nullstelle beinhaltet, würde ich gerne wissen, wie man auf sie kommt.

19.02.2014, 16:47

HAL 9000

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Dass du darauf nicht selbst kommst, nach all den Betrachtungen. unglücklich

$\begin{eqnarray*} s(T)=T^3+3T+1 \end{eqnarray*}$ hat wieder die Nullstellen 1 und 2, also erneut Polynomdivision durch $\begin{eqnarray*} (T-1)(T-2)=T^2-3T+2=T^2+2T+2 \end{eqnarray*}$ . Als Zwischenbilanz vermerken wir mal, dass wir bisher die Nullstellen T=1 und T=2 je zweimal im Originalpolynom p(T) haben.

19.02.2014, 19:15

brushmate

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Okay, da bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} T + 3 \end{eqnarray*}$ raus. Dafür ist die Nullstelle dann wieder 2. Also insgesamt 2 x 1 und 3 x 2. Muss ich also so lange Polynomdivisionen machen bis ich ein Polynom vom Grad 1 bekomme, um alle Nullstellen zu finden?

In einer anderen Aufgabe habe ich folgende Polynome:

$\begin{eqnarray*} p(T) & := & T^5 + 2T^3 + 4T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(T) & := & T^3 + 4T^2 + 2T + 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(T) & := & T^2 + 3T + 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r(T) & := & T^2 + 3T + 2 \end{eqnarray*}$

Alle $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z_7[T] \end{eqnarray*}$ .

Die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sind 0, 1, 2, 6 (gefunden durch Einsetzen). Laut Lösung ist 5 auch noch eine Nullstelle. Wie muss ich in diesem Fall vorgehen, um die fehlende Nullstelle zu finden?

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe bei der ersten Aufgabe!

19.02.2014, 20:08

brushmate

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Ich habe diese Nullstellen jetzt noch einmal ausmultipliziert und dann wieder eine Polynomdivision durchgeführt. Damit bin ich auf die letzte Nullstelle gekommen, nämlich 5.

19.02.2014, 20:11

Leopold

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Nun, wenn du durch Probieren Nullstellen bestimmt hast und so viele verschiedene Nullstellen gefunden hast, wie der Grad des Polynoms angibt, dann brauchst du keine weiteren Nullstellen mehr bestimmen, sondern kannst im Gegenteil eine vollständige Faktorisierung des Polynoms angeben:

$\begin{eqnarray*} T^5 + 2T^3 + 4T = T \cdot (T-1)(T-2)(T-5)(T-6) \end{eqnarray*}$

Im konkreten Fall kannst du die Nullstellen auch mit klassischen Verfahren finden:

$\begin{eqnarray*} T^5 + 2T^3 + 4T = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ T \cdot \left( T^4 + 2T^2 + 4 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Und die Darstellung als Nullprodukt zeigt die erste Lösung: $\begin{eqnarray*} T=0 \end{eqnarray*}$ . Bleibt der zweite Faktor. Er ist quadratisch in $\begin{eqnarray*} T^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left( T^2 \right)^2 + 2T^2 + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten sind $\begin{eqnarray*} a=1, b=2, c=4 \end{eqnarray*}$ . Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist

$\begin{eqnarray*} D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 2 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} (\pm 3)^2 = 2 \end{eqnarray*}$ liefert die bekannte Lösungsformel für quadratische Gleichungen

$\begin{eqnarray*} T^2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 3}{2} = \left( -2 \pm 3 \right) \cdot 4 \end{eqnarray*}$

Das gibt wieder zwei Fälle: $\begin{eqnarray*} T^2 = 4 \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T^2 = 1 \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

Sämtliche Lösungen sind daher: $\begin{eqnarray*} 0,1,2,-2,-1 \end{eqnarray*}$ , was modulo $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ dasselbe wie $\begin{eqnarray*} 0,1,2,5,6 \end{eqnarray*}$ ist.

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