Messbarkeit einer Zufallsvariablen

19.02.2014, 15:53	launi	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit einer Zufallsvariablen Kann mir jemand möglichst einfach erläutern, was es bedeutet, wenn eine Zufallsvariable bzgl. einer Größe messbar ist?
20.02.2014, 11:21	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit einer Zufallsvariablen Hallo, ich nehme mal an, dass Du mit "Größe" hier eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra meinst... Dann kannst Du Dir das Ganze wie folgt vorstellen: Grundlage ist ja ein Ereignisraum $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , in dem eben die möglichen Ereignisse liegen. Eine Zufallsvariable bildet von diesem Ereignisraum in einen Stichprobenraum ab, also $\begin{eqnarray} X: \Omega \rightarrow S \end{eqnarray}$ . Nun geht es ja immer darum, die Wahrscheinlichkeit von irgendwelchen Ereignissen zu berechnen, also brauchst Du irgendeine Struktur auf dem Ereignisraum, so dass Du darauf messen kannst. Diese Struktur ist eben genau die $\begin{eqnarray} sigma \end{eqnarray}$ -Algebra, etwa $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ , und womit Du misst, ist eben das Wahrscheinlichkeitsmaß, etwa $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . Somit hast Du einen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{A},P) \end{eqnarray}$ . In der Anwendung hast Du in der Regel jedoch nur Daten gegeben, also die Realisierungen der Zufallsvariablen bzw. Elemente im Stichprobenraum $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Wiederum geht es - ganz allgemein gesagt - wieder ums "Messen", also ist auch eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{S} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ nötig. In der Regel ist $\begin{eqnarray} S=\mathbb{R} \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist die Borelsche $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Zusammenhang mit einer Zufallsvariablen zu untersuchen ist es also notwendig, dass die sozusagen "Enddaten" im Stichprobenraum aus einer "Menge" im Ereignisraum stammen, die messbar ist. Das ist von der Motivation her genau die Definition von Messbarkeit: $\begin{eqnarray} \forall B \in \mathcal{S}: X^{-1}(B) \in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
21.02.2014, 11:28	launi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe! Deine Erläuterung leuchtet mir ein, ich suche allerdings nach einer seeeehr kurzen und prägnanten Erklärung, möglichst in einem Satz und ohne allzu viel Formalismus. Meinst du, du könntest Messbarkeit in einem Satz erklären?
21.02.2014, 15:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit einer Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ heißt, dass für alle reellen $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ die Urbildmengen $\begin{eqnarray} X^{-1}((-\infty,t]) := \{\omega\in\Omega:\; X(\omega)\leq t\} \end{eqnarray}$ auch wirklich Ereignisse sind, d.h. in der Sigma-Algebra des W-Raumes liegen. Ich denke mir, damit wirst du auch nicht zufrieden sein, aber das tiefe Verständnis von Messbarkeit ist halt nicht mit Dünnbrettbohren erlangbar, sondern erst nach und nach durch das Ansehen und Verstehen zahlreicher Beispiele.

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