Partialbruchzerlegung

20.02.2014, 04:04

Jade93

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Partialbruchzerlegung

Edit (mY+): Schreibe bitte keine Romane in den Titel, das gehört in den Text. Titel gekürzt.

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^3+4x+3)}{(x^2+1)(x^2+4)} \end{eqnarray*}$

Die obige Funktion will ich nun durch Partialbruchzerlegung berechnen.
Wie ich es bei den 3 vorigen Aufgaben gemacht habe, war i mPrinzip den Bruch in Teilbrüche zu zerlegen und gucken dass im Nenner 0 ergibt, daher für x entsprechend einsetzen. Dann zusammenfassen, und schließlich die Funktion hinschreiben. Z.B bei: $\begin{eqnarray*} \frac{(7x+1)}{(x-2)(x+3)} \end{eqnarray*}$
=> Der Teilnenner (x-2) entfällt weil für x 2 eingesetzt wurde:
$\begin{eqnarray*} \frac{(7x+1)}{(x+3)} =A + \frac{(B)}{(x+3)} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \frac{(7*2+1)}{(2+3)} => A = 3 \end{eqnarray*}$
Der Rest dürfte wohl klar sein. Jedenfalls kommt dann raus 3 ln(x-2)+4ln(x+3)

Meine Ideen:
wie das hier jetzt funktionieren soll weiß ich vor allem wegen dem Quadratzeichen im Nenner nicht mehr so recht mit dem alten Trick weiterzukommen. Theoretisch würde ich das wieder in Partialbrüche zerlegen, die Ausdrücke die im Nenner sind in den Zähler hinzufügen und dann wiederum die Variablen A,B,... als Summanden zusammenfassen, die wiederum über einen Nenner befinden. Dann das Dingen mit dem Koeffizientenvergleich und hab ich nicht gesehen unglücklich

unglücklich

Ich schaffe es schlichtweg nicht rechnerisch hinzukriegen.
Ich bitte wirklich nur sehr selten und ungern, dass man mir das vorrechnet, aber könnte das bitte jemand tun und erklären?

20.02.2014, 07:18

grosserloewe

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RE: Habe richtig Probleme Partialbruchzerlegung zu verstehen. Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter
Wink

Wink

Der Nenner hat mehrfach komplexe Nullstellen:

Schauh Dir dazu den folgenden Link an: (Punkt 2.4)

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=445212

Du mußt das Ganze über folgenden Ansatz lösen:
(mit anschl. Koeffizientenvergleich)

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3 +4x+3}{(x^2 +1)(x^2+4)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{Ax+B}{x^2 +1} +\frac{Cx+D}{x^2 +4} \end{eqnarray*}$

20.02.2014, 11:38

Jade93

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RE: Habe richtig Probleme Partialbruchzerlegung zu verstehen. Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter
aah, großerloewe! über diesen Namen hab ich schon so einiges gelesen. Der lässt mich bestimmt nicht im Stich Big Laugh

Big Laugh

20.02.2014, 12:32

grosserloewe

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RE: Habe richtig Probleme Partialbruchzerlegung zu verstehen. Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter
Wink

Wink

nein sicher nicht,

smile

smile

An welcher Stelle kommst Du nicht weiter?

20.02.2014, 12:45

Jade93

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RE: Habe richtig Probleme Partialbruchzerlegung zu verstehen. Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter
Ich meld mich heut Abend nochmal. Muss mir das alles durchlesen und paar dutzend mal versuchen...

20.02.2014, 12:50

grosserloewe

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RE: Habe richtig Probleme Partialbruchzerlegung zu verstehen. Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter
Wink

Wink

Jo bis dann.

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20.02.2014, 13:13

Jade93

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Ok, ich versteh doch nicht so ganz die Schreibweise Ax, Cx, B und D. Ich weiß nicht was ich einsetzen muss. Ist es so, dass ich einen partiellen nenner über den bruchstrich übertrage, ähnlich wie bei der Division von komplexen Zählen, nur dass nicht das Vorzeichen umgekehrt wird? Ich verliere da leicht die Übersicht geschockt

geschockt

20.02.2014, 13:45

grosserloewe

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Wink

Du mußt beide Seiten der Gleichung mit

$\begin{eqnarray*} (x^2 +1)(x^2+4) \end{eqnarray*}$

multiplizieren und dann einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Dann bekommst Du A,B,C,D

21.02.2014, 00:19

Jade93

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also... ich bin eingeschlafen... und das für sehr lang. Diese Aufgabe hab ich schon soweit bearbeitet...
raus kommt bei mir: $\begin{eqnarray*} 1/2ln(x²+1)... \end{eqnarray*}$
und weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ die Ableitung von arctan ist...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}ln(x^2+1)+arctan (x)-\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2}x) + C \end{eqnarray*}$
hab mich da bestimmt vertan irgednwo, daher wärs supertoll wenn jemand mal rüberschauen könnte..

Was mich jetzt im Moment eher beschäftigt ist, was ich wohl tun muss, wenn der Exponent außerhalb der Klammer steht. verwirrt

verwirrt

Ich bin momentan jetzt zu erschöpft um das heute (nach Mitternacht ja klar ^^) noch richtig auf die Reihe zu kriegen. Links, wo ich es einfach selbst nachschlagen kann wären schonmal super.

21.02.2014, 07:43

grosserloewe

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Wink

Das Ergebnis stimmt.

Ich kann mir zwar möglicherweise denken , was Du meinst , aber gib doch mal ein Beispiel an.

21.02.2014, 07:45

Grautvornix

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Immerhin offenbart sich nun, dass die PBZ hier zum Finden einer Stammfunktion dienen sollte.

Die Stammfunktion ist jedenfalls richtig!

Zur PBZ lässt sich nichts sagen, da du diese ja verwschweigst.

Aufgaben dieser Art löst dir natürlich auch jedes CAS (wie z.B. Wolframalpha).

Aber Vorsicht: So wie aus gutem Grund an Erstklässler keine Taschenrechner verteilt werden, sollte auch dies zunächst 'zu Fuß' beherrscht werden.

21.02.2014, 22:32

Jade93

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also was ich meine... Ich habe zB:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+2}{(x+2)(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

Das erweitert sich zu:
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

Dann wieder die Varaiblen mit den partiellen Nenner multiplizieren, Koeffizeintevergleich, Gleichung setzen und ausrechnen..

Und jetzt mal angenommen ich habe:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+2}{(x+2)^3(x-3)^4} \end{eqnarray*}$

Muss ich das Alphabet jetzt jedesmal erweitern? geschockt

geschockt

Das ist doch jede Menge Schreibarbeit oder nicht? Wie mach ich das dann am Besten? Ich weiß in der Klausur wird sowas nicht vorkommen wo man über eine halbe Stunde für eine Aufgabe benötigt, würde mich aber trotzdem interessieren wie ihr dann sowas machen würdet Big Laugh

Big Laugh

EDIT: Und vor allem wird es kniffelig wo ich die Werte für x^1 rausbekommen will. Da ist bei mir die geafhr recht groß dass ich ein Rechenfehler mache

22.02.2014, 12:53

grosserloewe

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Wink

Zu Aufgabe 1)

ist richtig so .

Zu Aufgabe 2)

-Muss ich das Alphabet jetzt jedesmal erweitern? ja hier bis G smile

smile

-Das ist doch jede Menge Schreibarbeit oder nicht? ja

- Wie mach ich das dann am Besten? also ich kenne nur diesen Weg über den Koefifzientenvergleich

-Ich weiß in der Klausur wird sowas nicht vorkommen

ich glaube , hier spannst Du den Bogen zu weit Big Laugh

Big Laugh

Mir ist bei Klausuren sowas in dieser aufwendigen Form nie über den Weg gelaufen und ich kann mir auch nicht vorstellen woanders.

- Und vor allem wird es kniffelig wo ich die Werte für x^1 rausbekommen will. Da ist bei mir die geafhr recht groß dass ich ein Rechenfehler mache

Hier brauche ich ein Beispiel

22.02.2014, 23:01

Jade93

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Zitat:

Original von grosserloewe

- Und vor allem wird es kniffelig wo ich die Werte für x^1 rausbekommen will. Da ist bei mir die geafhr recht groß dass ich ein Rechenfehler mache

Naja, zB 3 oder 4 binomische Formel smile

smile

(3+2x)^4
Hier brauche ich ein Beispielsowas halt.. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.02.2014, 00:50

grosserloewe

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Wink

Soll das die ganze Aufgabe sein?

mit z= 2x+3 ist die doch schon fast gelöst.

Denke aber, das ist NICHT gemeint.

Schreibe bitte konkret , was Du meinst.

Oder ist alles geklärt??

smile

smile

24.02.2014, 07:56

Jade93

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ok...
$\begin{eqnarray*} \frac{ (3x^2+2x)+(5x+8)^2}{(3+2x)^4+(x^2+4)} \end{eqnarray*}$
sowas in der Art habe ich noch nicht in der Aufgabensammlung gesehen..

24.02.2014, 08:30

Jade93

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hier muss ich dann die Terme entsprechend erweitern.. das ist mir dann aber viel zu unübersichtlich..

24.02.2014, 10:54

grosserloewe

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Wink

Bitte investiere nichts weiter in solche Intergrale.
Sowas wird in der Praxis nicht verlangt. Um Deine Frage zu beantworten,
spalte das Integral auf in 3 Teilintegrale :

3 x^2 /Nenner +2x/Nenner +((5x+8)^2)/Nenner

Rechne aber damit , das dieses Integral wo möglich nicht geschlossen
integrierbar ist

smile

smile

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