Spiegelung einer Ebene

20.02.2014, 12:42

MMchen60

Spiegelung einer Ebene

Gegeben sind zwei Ebenen E und F, die sich in einer Geraden g schneiden und zueinander nicht orthogonal sind. Bestimmen Sie einer Gleichung der Spiegelebene E' an F.
Vorgehensweise:
1. Ich wähle einen beliebigen Punkt P auf F, der nicht auf der Schnittgeraden liegt.
2. Ich stelle die Gleichung einer Hilfsgeraden h durch P mit dem Normalenvektor von F als Richtungsvektor auf.
3. Ich schneide h mit E und erhalte S.
4. Ich berechne S' mit $\begin{eqnarray*} \vec{OS'}= \vec{OP}+\vec{SP} \end{eqnarray*}$
5. Ich bilde die Ebenengleichung der Spiegelebene über zwei Punkte der Geraden g und den erhaltenen Punkt S'.
Ich denke mal das das so richtig ist, meine Frage hier ist die, ob es nicht ein schnelleres Verfahren gibt, etwa über den Weg, dass durch die Spiegelung ja F zur winkelhalbierenden Ebene zwischen E und E' wird.
Besten Dank.

20.02.2014, 13:22

mYthos

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RE: Spiegelung einer Ebene
Dein Weg ist im Prinzip richtig.
Alternativ kann auch die erwähnte Tatsache der gleichen Winkel verwendet werden.

. EDIT

mY+

20.02.2014, 13:55

MMchen60

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RE: Spiegelung einer Ebene

Zitat:

Original von mYthos
Alternativ kann auch die erwähnte Tatsache der gleichen Winkel verwendet werden.

Ja, schon, nur, da habe ich dann bei der Winkelberechnung mit dem doppelten Winkel zwischen den Normalenvektoren von E und E' drei Unbekannte im Normalenvektor von E', benötige also noch zwei weitere Bedingungen. Dazu fällt mir aber im Moment nichts ein. Es geht mir darum, einen einfacheren Weg als den von mir beschriebenen zu finden.

20.02.2014, 15:14

mYthos

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Wie du gesehen hast, hatte ich ja meinen obigen Beitrag editiert, weil da schon ein Weg beschrieben war, der nicht ganz richtig war.
Jetzt habe ich das nochmals nachgerechnet

Seien die Normalvektoren von E und E' normiert (--> Länge = 1), dann gilt

$\begin{eqnarray*} {\vec n}_F = {\vec n}_E + {\vec n}_{E'} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {\vec n}_{F} \ \text{und} \ {\vec n}_{E} \end{eqnarray*}$ sind gegeben, $\begin{eqnarray*} {\vec n}_{E'} \end{eqnarray*}$ [(x1, x2, x3), dessen Betrag ist 1] ist zu berechnen. Als $\begin{eqnarray*} {\vec n}_{E} \end{eqnarray*}$ nimmst du den normierten Vektor, das Ergebnis $\begin{eqnarray*} {\vec n}_{E'} \end{eqnarray*}$ wird ebenso ein normierter Vektor sein, wogegen $\begin{eqnarray*} {\vec n}_{F} \end{eqnarray*}$ einfach der Normalvektor der Ebene F bleibt.

Damit ergibt sich der Ansatz

$\begin{eqnarray*} r \cdot {\vec n}_{F} = {\vec n}_{E} + \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = r \cdot {\vec n}_{F} - {\vec n}_{E} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 \end{eqnarray*}$ berechnest du schließlich $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} {\vec n}_{E'} \end{eqnarray*}$ .

mY+

20.02.2014, 16:10

riwe

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das Stricherl beim E sollte vermutlich nicht mehr vorkommen Augenzwinkern

20.02.2014, 22:55

mYthos

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Ja klar, danke, das war ein Kopierfehler!
Ist berichtigt.

mY+

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