Entsprechen sich Rang und Bild einer Matrix?

20.02.2014, 16:12

Snaff

Entsprechen sich Rang und Bild einer Matrix?

Hallo,

ich hab eine kleine Frage zum Rang und seinem Verhältnis zum Bild/Kern.

Der Rang einer Matrix entspricht den linear unabhängigen Spaltenvektoren. Das Bild entspricht ebenfalls den linear unabhängigen Spaltenvektoren.
Kann ich also sagen, das Bild entspricht immer dem Rang und der Rang immer dem Bild?

Aufgabe:
1. Bestimme den Rang von der Matrix A.
2. Bestimme die Dimension von Bild und Kern.

$\begin{eqnarray*} <br /> A = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Bei meiner Zeilenumformung bekomme ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} <br /> A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Ich sehe 4 linear unabhängige Zeilenvektoren, daher müsste der Rang = 4 sein.

$\begin{eqnarray*} Bild(A) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Dim(Bild(A)) = 4
Dim(A) = Dim(Bild) + Dim(Kern)
Dim(Kern(A)) = 0

Kann ich das so schreiben und gennerell sagen höhe des Rangs = Höhe der Dimension des Bildes?

20.02.2014, 16:26

tigerbine

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RE: Entsprechen sich Rang und Bild einer Matrix?

Zitat:

Der Rang einer Matrix entspricht den linear unabhängigen Spaltenvektoren.

Nein, er ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen- oder Spaltenvektoren.

Das Bild ist der span der Spaltenvektoren der Matrix. Man kann sagen dass der Rang gleich der Dimension des Bildraums ist.

edit:

Rang(A) = 4 stimmt und damit ist Defekt(A)=0.

20.02.2014, 17:16

Snaff

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Hallo tigerbine,

danke für deine Antwort smile

Ich glaube ich habe aber noch ein Verständnisproblem.

Zitat:

...Zeilen- oder Spaltenvektoren

Welchen Wert nehme ich denn wenn die linear unabhängigen Zeilenvektoren ungleich der linear unabhängigen Spaltenvektoren sind?

LG

20.02.2014, 17:19

tigerbine

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Zitat:

Welchen Wert nehme ich denn wenn die linear unabhängigen Zeilenvektoren ungleich der linear unabhängigen Spaltenvektoren sind?

Du formulierst wieder unsauber. In der Regel werden die Vektoren verschieden sein, aber die Anzahl der lu Vektoren ist gleich. Es gibt da einen Satz: Zeilenrang = Spaltenrang.

http://www.mpi-inf.mpg.de/departments/d1.../MFI2/kap36.pdf

Seite 3. Augenzwinkern