LGS freie Variable

22.02.2014, 15:23

Robert93

LGS freie Variable

Meine Frage:
Hey Leute,
Hab eine Frage bei folgender Aufgabe:

Gesucht ist die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems A*\vec{x} =\vec{b} mit

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage bezieht sich jetzt auf die frei wählbaren Variablen.
Ich bin zunächst folgendermaßen vorgegangen:

Meine Ideen:
Habe zunächst mein LGS auf die Zeilenstufenform gebracht:

$\begin{eqnarray*} A \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 | -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 |1 \\ 0 & 0 & 0 &0 |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Die Zahlen hinter dem "|" sind meine Ergebnisse)

Jetzt ist meine Frage, woher erkenne ich welche Variable frei wählbar ist?

Für mich ist es Augenscheinlich x2, x3 und x4, was aber irgendwie nicht sein kann.
Wie also erkenne ich das richtig?

Danach wäre mein Vorgehen: Freie Variablen = 0, dann spezielle Lösung, dann homogene Lösung!

danke schonmal

22.02.2014, 15:59

Kasen75

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Hallo,

du hast jetzt 2 Gleichungen und 4 Variablen. Du kannst dir jetzt aussuchen, welche 2 der 4 Variablen als frei wählbar definierst.

Die Anzahl der frei wählbaren Variabdlen bestimmt sich durch die Rechnung: Anzahl der Variablen - Anzahl der Gleichungen
Die Nullzeile kann man unberücksichtigt lassen.

Es ist auf jeden Fall günstig, $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ als abhängige Variable zu wählen, da diese nur in einer der beiden (oberen) Gleichungen mit einem Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ versehen ist.

Grüße.

Edit: Es wird vielleicht klarer, wenn du die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und die zweite Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ auflöst. Dann siehst du, dass $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ frei wählbar sind.

22.02.2014, 16:47

Robert93

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Gut vielen dank, bringt mich schon etwas weiter.

Nur zu der Sache beim erkennen der Variablen:

Normalerweise müsste man es doch direkt aus der Zeilenstufenform erkennen können, welche Variablen frei wählbar sind oder nicht?
Ist das nicht so das alle Variablen hinter einer Stufe = 0 sind, automatisch freiwählbare sind?

22.02.2014, 17:16

Dopap

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Wenn ich dich recht verstehe , dann möchtest du den Algorithmus zur Lösung eines LGS wissen, damit du nicht nachdenken musst. Den gibt es schon, allerdings genügt dann nicht Staffelform, sondern man sollte auch Nullen im oberen Dreieck erzeugen. Also nicht Gauss-Jordan, sondern nur Gauss Augenzwinkern

Desweiteren müssen mit $\begin{eqnarray*} a_{11}=1 \end{eqnarray*}$ beginnend alle weiteren Diagonalelemente = 1 sein, soweit es eben geht.
Das geht aber eventuell nur mit Spaltenvertauschungen. Im Algorithmus wird dies in einer Permutationsmatrix notiert.

In

$\begin{eqnarray*} A_e=\left( \begin{matrix} 1 & 2& 0 &1\\ 0 & 0& 1&-2\\ 0 & 0& 0&0\\ 0 & 0& 0&0 \end{matrix} \left| \begin{matrix}-1\\1\\0\\0 \end{matrix} \right) \right. \end{eqnarray*}$

sind also Spalte 2 mit Spalte 3 zu vertauschen.

22.02.2014, 19:39

Dopap

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du warst ja kurz online - aber Samstag Abend ...

Also:
$\begin{eqnarray*} A_e=\left( \begin{matrix} 1 & 0& 2 &1\\ 0 & 1& 0&-2\\ 0 & 0& 0&0\\ 0 & 0& 0&0 \end{matrix} \left| \begin{matrix}-1\\1\\0\\0 \end{matrix} \right) \right. \end{eqnarray*}$

und jetzt kann man schematisch vorgehen, zuerst die Absolutspalte, dann aus Gewohnheit nach links rücken:

Spalte 4 negativ und Zeile 4 wird $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ ( wegen $\begin{eqnarray*} x_4= \lambda_1 \end{eqnarray*}$ )
Spalte 3 negativ und Zeile 3 wird $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ( wegen $\begin{eqnarray*} x_3= \lambda_2 \end{eqnarray*}$ )

und stopp. Demnach

$\begin{eqnarray*} \vec x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_{\color {red} 3 }\\ x_{\color{red}2} \\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+ \lambda_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0\\1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}\quad \land \quad \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

jetzt sollte man noch die Spaltenvertauschung rückgängig machen und Zeile 2 mit Zeile 3 vertauschen.

Nun gut, das ist jetzt eine komplette Lösung, aber es geht mehr um das Prinzip.
Desweiteren kann ich auch mal per Link darauf verweisen. Augenzwinkern

24.02.2014, 09:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Robert93
Nur zu der Sache beim erkennen der Variablen:

Normalerweise müsste man es doch direkt aus der Zeilenstufenform erkennen können, welche Variablen frei wählbar sind oder nicht?

Ja, das kann man und es geht auch ohne lästige Spaltenvertauschungen. smile

Befindet sich die Matrix in Zeilenstufenform, geht man so vor: man bestimmt zunächst die nicht frei wählbaren Variablen. Das sind genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

@Kasen75: man kann sich nicht x-beliebig irgendwelche Variablen als frei wählbar heraussuchen.

26.02.2014, 07:17

Dopap

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, das kann man und es geht auch ohne lästige Spaltenvertauschungen. smile

mein Augenmerk lag auf einem Algorithmus. Somit ist die Lösung des LGS mittels Matrizen- , Zeilen- und Spaltenoperationen programierbar. Auf meinem HP 50g funktioniert das auch einwandfrei.

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