Kreis gesucht

22.02.2014, 19:04

Lorli

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Kreis gesucht

Hallo,
kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen?

Gesucht ist der Kreis K' der durch A(0/3) und B(0/-3) geht und den Kreis (x- (4/-3) )^2=4 berührt.

Ich habe verschiedene Sachen ausprobiert, aber ich weiß nicht, wie ich die drei Bedingungen sinnvoll zusammenbringen kann.

Danke schonmal im Voraus.

22.02.2014, 21:08

Bürgi

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RE: Kreis gesucht
Guten Abend,

bist Du sicher, dass die gegebene Kreisgleichung richtig ist? (Irgendwie fehlt mir da noch ein y ... verwirrt

verwirrt

)

22.02.2014, 21:54

HAL 9000

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Ich schätze mal: Schlampiger Aufschrieb, wo nicht erklärt wird, dass mit x sowie (4/-3) Vektoren gemeint sind...

In der xy-Ebene geschrieben ist dann wohl die Kreisgleichung $\begin{eqnarray*} (x-4)^2 + (y+3)^2 = 4 \end{eqnarray*}$ gemeint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.02.2014, 11:35

Lorli

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Ja sorry, so wie HAL 9000 es geschrieben hat, ist das gemeint gewesen. Wollte erst den Formeleditor benutzen, hat dann aber nicht so geklappt, wie ich es wollte.
Hat denn nun jemand ein Tipp für mich?

23.02.2014, 13:57

HAL 9000

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Der Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M' \end{eqnarray*}$ des Kreises $\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$ liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , das ist im vorliegenden Fall die x-Achse, man kann also ansetzen $\begin{eqnarray*} M'=(m,0) \end{eqnarray*}$ mit einer noch zu bestimmenden x-Koordinate $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , und der Radius dieses Kreises ist dann $\begin{eqnarray*} r'=|M'A| = \sqrt{m^2+9} \end{eqnarray*}$ .

Wenn sich $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$ von außen berühren sollen - ich verstehe deine Aufgabe mal so, dass der andere Fall, dass ein Kreis den anderen von innen berührt, hier nicht betrachtet werden soll - dann muss die Mittelpunktentfernung gerade der Summe der beiden Radien entsprechen, d.h. $\begin{eqnarray*} |MM'| = r+r' = 2+\sqrt{m^2+9} \end{eqnarray*}$ . Aus dieser Beding lässt sich eine Bestimmungsgleichung für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ aufstellen und lösen.

23.02.2014, 14:31

Bürgi

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Guten Tag,

nur eine Zwischenbemerkung - und dann bin ich wieder draußen:

@HAL 9000:
1. Danke für die Übersetzung - Deine Kristallkugel ist offensichtlich besser geputzt als meine.
2. Du schließt die Berührung von innen aus, warum? Aus der Aufgabenstellung ist das nicht zwingend ersichtlich.

Ich füge mal eine Skizze an.

... und tschüs!

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23.02.2014, 16:15

Lorli

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Gut danke, bis hierhin habe ich es verstanden. Aber wie stellt man jetzt die Bestimmungsgleichung für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ auf?
Ich habe versucht $\begin{eqnarray*} |MM'|=|(4/-3)-(m/0)| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2 + \sqrt{m^2+9} \end{eqnarray*}$ gleichzusetzen, was mich aber zu keinem richtigen Ergebnis gebracht hat.
Müsste M' nicht eigentlich genau zwischen A und B liegen, oder darf man das nicht so sagen?

23.02.2014, 16:57

Bürgi

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Hallo,

Zitat:

Müsste M' nicht eigentlich genau zwischen A und B liegen, oder darf man das nicht so sagen?

Nein, darfst Du nicht so sagen, auch wenn es stimmt. Deine Rechnungen sollen am Schluss genau dieses Ergebnis liefern.

Der Abstand zwischen 2 Punkten P und Q mit den Ortsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec q \end{eqnarray*}$ wird berechnet durch:

$\begin{eqnarray*} |\overline{PQ}| = \sqrt{(\vec p - \vec q)^2} \end{eqnarray*}$

d.h. Du musst nach m auflösen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left( \begin{pmatrix}m \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix} \right)^2 } = \sqrt{m^2+9} + 2 \end{eqnarray*}$

Du erhältst die Lösungen für beide möglichen Fälle.

23.02.2014, 17:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bürgi
2. Du schließt die Berührung von innen aus, warum? Aus der Aufgabenstellung ist das nicht zwingend ersichtlich.

Deswegen:

Zitat:

Original von Lorli
Gesucht ist der Kreis K' der durch A(0/3) und B(0/-3) geht und den Kreis (x- (4/-3) )^2=4 berührt

Also der Kreis, nicht die Kreise. Außerdem habe ich deutlich drauf hingewiesen, dass man es auch anders sehen kann, nämlich innen berühren. Also was willst du mehr? Lorli kann entsprechend reagieren, was er denn nun will und ggfs. auch die Innenlösung ermitteln. LOL Hammer

LOL Hammer

Zitat:

Original von Bürgi
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left( \begin{pmatrix}m \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix} \right)^2 } = \sqrt{m^2+9} + 2 \end{eqnarray*}$

Du erhältst die Lösungen für beide möglichen Fälle.

Falsch gedacht, damit erhält man nur die Außenlösung. Beide Lösungen erhält man mit

$\begin{eqnarray*} \left| |MM'| - \sqrt{m^2+9} \right| = 2 \end{eqnarray*}$ .

23.02.2014, 17:18

Bürgi

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@HAL9000:

Danke! Gott

Gott

Ich merke schon, wer lesen kann, ist echt im Vorteil!

23.02.2014, 17:32

Bürgi

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Hallo

Zitat:

Falsch gedacht, damit erhält man nur die Außenlösung.

Mag sein, aber wenn man die von mir aufgestellte Wurzelgleichung löst, bekommt man die m-Werte für beide Lösungen.

23.02.2014, 18:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bürgi
Mag sein, aber wenn man die von mir aufgestellte Wurzelgleichung löst, bekommt man die m-Werte für beide Lösungen.

An einer Stelle quadrierst du und erhältst deshalb eine Scheinlösung, die gerade der Innenlösung entspricht. Aber dieses m=4 ist NICHT Lösung der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left( \begin{pmatrix}m \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix} \right)^2 } = \sqrt{m^2+9} + 2 \end{eqnarray*}$

23.02.2014, 19:35

Lorli

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Also ich habe jetzt m=0 und m=2 rausbekommen, sodass ein Radius am Ende passt, aber der andere Wert stimmt ja noch nicht, wenn ich mir die Skizze von Bürgi ansehe. Ich bin mir auch nicht sicher, wie ich die Gleichung am Besten lösen kann.
Ist das
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left( \begin{pmatrix}m \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix} \right)^2 } = \sqrt{m^2+9} + 2 \end{eqnarray*}$
gleich dieses?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(m-4)^2+3^2} = \sqrt{m^2+9} + 2 \end{eqnarray*}$
Und wie geht man dann am Besten vor? Ich habe erstmal alles hoch 2 genommen, oder geht es einfacher?

23.02.2014, 21:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lorli
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(m-4)^2+3^2} = \sqrt{m^2+9} + 2 \end{eqnarray*}$
Und wie geht man dann am Besten vor? Ich habe erstmal alles hoch 2 genommen, oder geht es einfacher?

Ja, ist Ok so. Und diese Quadrierung ist auch noch eine äquivalente Umformung, da vorher auf beiden Seiten garantiert positive Zahlen stehen.

23.02.2014, 23:07

Lorli

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So habe nochmal nachgerechnet und meinen Fehler gefunden, sodass ich nun für den Radius 3 und 5 heraus bekomme, was, wenn man es mit der Skizze vergleicht, zu stimmen scheint.
Aber eine letzte Frage habe ich noch: Ich habe ja jetzt zwei Kreise. Was müsste ich an der Gleichung ändern, um nur den äußeren/ inneren Kreis zu bekommen? Das ist mir bei eurer Diskussion noch nicht so ganz klar geworden.

24.02.2014, 08:05

HAL 9000

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Ok, ich wiederhole es nochmal, ein letztes Mal: Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(m-4)^2+3^2} = \sqrt{m^2+9} + 2 \end{eqnarray*}$

hat nur die eine Lösung $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ , es sind nichtäquivalenten Umformungen, die zu einer zweiten Scheinlösung $\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$ führen - mach doch einfach mal die Probe, d.h., setze $\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$ in die Gleichung ein, dann erhältst du

$\begin{eqnarray*} 3 \neq 7 \end{eqnarray*}$ .

Eine andere Möglichkeit wäre konsequent äquivalente Umformungen, das betrifft insbesondere Stellen, an denen quadriert wird! Das ist nicht jedermanns Sache, aber wen es interessiert, das könnte hier so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(m-4)^2+3^2} = \sqrt{m^2+9} + 2 \qquad \bigg| \; ()^2, \mbox{gefahrlos, da beide Seiten positiv} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m^2-8m+16+9 = m^2+9 + 4\sqrt{m^2+9} + 4 \qquad \bigg| \;-m^2-13 \quad \bigg| \; /4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2m+3 = \sqrt{m^2+9} \end{eqnarray*}$

Und bevor hier erneut quadriert wird, nachdenken: Rechts steht mit der Wurzel etwas Nichtnegatives, also muss auch die linke Seite nichtnegativ sein, d.h. $\begin{eqnarray*} -2m+3\geq 0 \end{eqnarray*}$ oder umgestellt $\begin{eqnarray*} m \leq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten: Es gibt keine Lösung $\begin{eqnarray*} m > \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ und die folgenden Umformungen gelten nur für $\begin{eqnarray*} m \leq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ , jetzt erst wird quadriert:

$\begin{eqnarray*} 4m^2-12m+9 = m^2+9 \qquad \bigg| \;-m^2-9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3m^2-12m = 3m(m-4) = 0 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} m \leq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ hat diese Gleichung nur noch die eine Lösung $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ .

24.02.2014, 09:01

Bürgi

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Danke!

24.02.2014, 15:11

riwe

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das wäre eventuell eine Variante, beide Lösungen ohne Stress zu ergattern:

mit M(m/0) und einem der beien Punkte bekommt man sofort

$\begin{eqnarray*} m^2+9=r^2 \end{eqnarray*}$

aus $\begin{eqnarray*} (1)\quad{ } (x-m)^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$

schneidet man die beiden kreise erhält man

$\begin{eqnarray*} (2)\quad{ }y=\frac{x}{3}(4-m)-5 \end{eqnarray*}$

dies in (1) eingesetzt ergibt aus der Forderung, dass die Diskriminate D = 0 sein soll

$\begin{eqnarray*} m(m-4)=0 \end{eqnarray*}$

ich hoffe, ohne unzulässige Umformungen verwirrt

verwirrt

24.02.2014, 16:45

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, ich wiederhole es nochmal, ein letztes Mal: Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(m-4)^2+3^2} = \sqrt{m^2+9} + 2 \end{eqnarray*}$

hat nur die eine Lösung $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ , es sind nichtäquivalenten Umformungen, die zu einer zweiten Scheinlösung $\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$ führen - mach doch einfach mal die Probe, d.h., setze $\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$ in die Gleichung ein, dann erhältst du

$\begin{eqnarray*} 3 \neq 7 \end{eqnarray*}$ .

Nein, er erhält: $\begin{eqnarray*} 3 = 7 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2014, 21:43

Lorli

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Danke
Ah ok, jetzt hab ich es auch verstanden.
Vielen lieben Dank für eure Hilfe und Geduld Blumen

Blumen

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