Ungleichung zeigen

22.02.2014, 19:34	thatguy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zeigen Könnte mir jemand bitte bei dieser Ungleichung helfen. Ich will das zeigen und komm auf keinen grünen Zweig. $\begin{eqnarray} (1+a)^{\alpha}(1+b)^{1-\alpha}\geq1+a^{\alpha}b^{1-\alpha}\qquad a,b\in \mathbb R ^+,\quad 1>\alpha>0 \end{eqnarray}$ Handelt es sich bei dieser Ungleichung vll überhaupt um eine Standardungleichung? Sie kommt mir so bekannt vor, habe aber nichts gefunden. Vielen Dank schon mal!
22.02.2014, 21:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte $\begin{eqnarray} g(x) = (1+x)^{\alpha} (1+b)^{1-\alpha} - 1 - x^{\alpha}b^{1-\alpha} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} g(b) = 0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} g'(x) = \alpha \left[ (1+x)^{\alpha-1} (1+b)^{1-\alpha} - x^{\alpha-1}b^{1-\alpha} \right] = \alpha \left[ \left( \frac{1+b}{1+x} \right)^{1-\alpha} - \left( \frac{b}{x} \right)^{1-\alpha} \right] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ . Klar, wie es weitergeht?
22.02.2014, 22:30	thatguy	Auf diesen Beitrag antworten »
Genial! Vielen Dank! Also ist $\begin{eqnarray} g'(b)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(x)<0 \qquad x<b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(x)>0 \qquad x>0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} g(x)>0 \end{eqnarray}$ Richtig soweit oder? Kennt man diese Ungleichung vll unter einem bestimmten Namen? Oder gibt es eine ähnliche bekannte Ungleichung? Vielen Dank nochmal!
22.02.2014, 22:34	thatguy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x<b \end{eqnarray}$ soll natürlich $\begin{eqnarray} 0<x<b \end{eqnarray}$ heißen, und $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} x>b \end{eqnarray}$ heißen.
23.02.2014, 08:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau: $\begin{eqnarray} g'(x)<0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0<x<b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g'(x)>0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>b \end{eqnarray}$ weisen auf das globale Minimum bei $\begin{eqnarray} x=b \end{eqnarray}$ hin, speziell ist also auch $\begin{eqnarray} g(a)\geq g(b)=0 \end{eqnarray}$ , was der Behauptung entspricht.

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