Frage zur Relation auf N

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jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Relation auf N
Liebe community, ich bin schon völlig am verzweifeln. Ich weiß, dass Ende der Woche mit großer Wahrscheinlichkeit in der Klausur eine Aufgabe dran kommt, in der man eine Relation auf ihre Eigenschaften untersuchen muss.

Es könnte etwas in dem Stil sein:

R:= {(a,b) Element NxN | es existiert ein k Element N: a teilt b^k}

sorry, ich kenne mich mit latex noch nicht aus und werde es in der freien Zeit wirklich probieren. Aber jetzt schiebe ich gerade etwas Panik ...

Nun soll untersucht werden, ob die Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv und konnex ist. (Mit antisymm. habe ich irgendwie auch noch meine Probleme) ...

Ich fange mal mit reflexiv an: könnte ich da sagen, dass die Relation wegen a|a reflexiv ist?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Relation auf N
Zitat:
Original von jani2704
Ich fange mal mit reflexiv an: könnte ich da sagen, dass die Relation wegen a|a reflexiv ist?
Ja, genauer gesagt kann man in der Definition k beliebig (bspw. 1) wählen, dann ist es offensichtlich.

Nun die anderen Eigenschaften.
 
 
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ... dann weiter mit der Symmetrie ... aus a|b kann ich ja nicht zwangsläufig b|a folgern, es sei denn, a und b dürfen die gleichen Werte annehmen.

Und das ist wohl eines meiner Verständnisprobleme ... ich konkretisier noch einmal.
Dürfen a und b die gleichen Werte haben?
Muss es für jedes Paar (a,b) gelten oder genügt es, wenn ich eins habe?

Also ich denke, a und b dürfen die gleichen Werte haben, sonst wäre meine erste Prüfung ja schon irgendwie Quatsch. Dann würde ich sagen, dass die Relation nicht symmetrisch ist sondern antisymmetrisch, weil a|b und b|a nur gegeben ist, wenn a und b identisch sind. Ist der Gedankengang richtig?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
Und das ist wohl eines meiner Verständnisprobleme ... ich konkretisier noch einmal.
Dürfen a und b die gleichen Werte haben?
Muss es für jedes Paar (a,b) gelten oder genügt es, wenn ich eins habe?
Die Bedingung der Symmetrie muss für alle Paare gelten.

Es ist aber nicht gefordert, dass a|b gilt, sondern dass es ein gibt so dass , das ist doch was völlig anderes als die Bedingung von der du ausgehst.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

ich war jetzt davon ausgegangen, dass k = 1 ist und habe es einfach nicht weiter beachtet ... Mist ... und wahrscheinlich peinlich.

Nun, dann würde ich sagen, die Symmetrie gilt trotzdem nicht, weil b^k|a nicht für jedes Paar gelten kann. Stimmt das so?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
ich war jetzt davon ausgegangen, dass k = 1 ist und habe es einfach nicht weiter beachtet ... Mist ... und wahrscheinlich peinlich.
k muss nicht 1 sein, es kann eine beliebige natürliche Zahl sein.


Es ist zB : Es gilt nicht , es gilt aber (mit k=2) . Mach dir das mal klar.

Zitat:
Nun, dann würde ich sagen, die Symmetrie gilt trotzdem nicht, weil b^k|a nicht für jedes Paar gelten kann. Stimmt das so?
Warum kann das nicht gelten? Das ist erstmal nur eine Behauptung ohne jede Begründung.

Es kann für die Umkehrung der Relation auch durchaus ein "anderes" k geben als in der Hinrichtung.

Es ist bspw. , diesmal ist aber , also könnte man auch k=1 wählen.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich hatte jetzt schon editiert.

Stimmt, dass muss ich mir erstmal klar machen. Kann ich mir jetzt ein Paar vorstellen, zum Beispiel (3,3), für k = 2 gilt offensichtlich 3|9 aber nicht umgekehrt.

Die Symmetrie gilt also nicht, weil b^k|a nicht für jedes Paar gelten kann.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
Entschuldige, ich hatte jetzt schon editiert.
Ich auch.
Zitat:
Original von jani2704
Stimmt, dass muss ich mir erstmal klar machen. Kann ich mir jetzt ein Paar vorstellen, zum Beispiel (3,3), für k = 2 gilt offensichtlich 3|9 aber nicht umgekehrt.
Zunächst behauptest du, dass die Relation reflexiv ist, um im nächsten Beitrag zu behaupten, dass 3 nicht zu sich selbst in Relation steht?

Was wäre denn die Umkehrung von "3 steht in Relation zu 3"? Um Symmetrie zu widerlegen musst du logischerweise ein ungleiches Paar nehmen.
Zitat:
Original von jani2704
Die Symmetrie gilt also nicht, weil b^k|a nicht für jedes Paar gelten kann.
Siehe oben.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

aber die Relation kann doch reflexiv sein und trotzdem nicht symmetrisch ... schließt das denn wirklich das Paar (3,3) aus? Das war natürlich ein blödes Beispiel von mir.

Dass das k in die andere Richtung einen weiteren Wert annehmen kann, war mir leider nicht klar. Dann würde ich sagen, die Relation ist symmetrisch.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
aber die Relation kann doch reflexiv sein und trotzdem nicht symmetrisch
Kann sie.
Zitat:
Original von jani2704
... schließt das denn wirklich das Paar (3,3) aus? Das war natürlich ein blödes Beispiel von mir.
Na die Aussage ist eine Tautologie - du bist von ausgegangen und hast versucht zu zeigen dass gilt, das kann ja nicht funktionieren.
Zitat:
Original von jani2704
Dass das k in die andere Richtung einen weiteren Wert annehmen kann, war mir leider nicht klar. Dann würde ich sagen, die Relation ist symmetrisch.
Das ist eine Behauptung ohne jede stichhaltige Begründung. So kommen wir ja nicht weiter.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

ich wollte erstmal wissen, ob der Gedankengang so richtig ist. Ich meine also, dass die Relation symmetrisch ist und hätte jetzt so argumentiert:

Wenn a|b gilt offensichtlich auch a|b^k und aufgrund der Symmetrie b^k|a.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
Wenn a|b gilt offensichtlich auch a|b^k
Das ist richtig.
Zitat:
Original von jani2704
...und aufgrund der Symmetrie b^k|a.
Den Teil verstehe ich nicht. Symmetrie wovon?

Wenn a|b^k dann gilt eben nicht automatisch b^k|a
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann ja verstehen, dass du dir innerlich die Haare raufst, wenn so augenscheinlich unüberlegte Äußerungen gemacht werden, aber bitte gehe davon aus, dass, auch wenn es wohl in dem Moment nicht so aussieht, ich mir trotzdem Gedanken gemacht habe - auch wenn die zum Teil in Blödsinn münden.

Anscheinend habe ich ein paar elementare Dinge nicht oder falsch verstanden. Das versuche ich gerade selbst herauszufinden.

Und natürlich ist es Blödsinn (jetzt wo ich es zum zweiten Mal lese). Für das Paar (2,4) zum Beispiel kann die Symmetrie nie gelten, da kann ich mein k so klein machen, wie ich will ... traurig
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
Für das Paar (2,4) zum Beispiel kann die Symmetrie nie gelten, da kann ich mein k so klein machen, wie ich will ... traurig
Die Aussage verstehe ich nicht. Es gilt ja und , überleg dir mal warum. Was heißt da "kann die Symmetrie nie gelten"?
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du jetzt, weil es ja alle Paare des kartesischen Produkts sind?

Mir war nicht klar, dass ich davon ausgehe kann, dass, wenn (4,2) in R liegt auch (2,4) in R liegt. Ich hoffe, du meinst das jetzt, dann könnte ich einen elementaren falschen Gedanken eliminieren.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
Mir war nicht klar, dass ich davon ausgehe kann, dass, wenn (4,2) in R liegt auch (2,4) in R liegt. Ich hoffe, du meinst das jetzt, dann könnte ich einen elementaren falschen Gedanken eliminieren.
Davon kannst du nicht ausgehen, das sollst du ja zeigen.

Zwei Aufgaben:
a) Zeige
b) Zeige

Begründe nötigenfalls in mehr als nur einem Satz.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ... ist es, weil ich für die verschiedenen Paare annehmen kann, dass für (a,b) zum Beispiel gilt 2|2^2, aber auch 4|2^2, da ich ja für k jede beliebige Zahl annehmen kann und das ja überhaupt die Voraussetzung für die Relation ist?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
Hmm ... ist es, weil ich für die verschiedenen Paare annehmen kann, dass für (a,b) zum Beispiel gilt 2|2^2, aber auch 4|2^2, da ich ja für k jede beliebige Zahl annehmen kann und das ja überhaupt die Voraussetzung für die Relation ist?
Was heßt hier annehmen? Du nimmst hier andauernd einfach irgendwas an, was scheinbar irgendwie vom Himmel fällt, und versuchst dann irgendetwas daraus abzuleiten, ohne dass du überhaupt überprüfst ob die Annahme richtig ist. Du hast 2 Aufgaben gehabt, einmal a) und einmal b) und es ist überhaupt nicht klar, worauf du dich beziehst. Dazu sind deine Begründungen derart kurz, dass ich jedesmal nachhaken muss.

Daher nun nur eine Aufgaben, wenn du diese gelöst hast stelle ich die zweite, damit klar ist worauf du dich beziehst.


Begründe einfach

Begründe nötigenfalls in mehr als nur einem Satz.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "annehmen" meinte ich, dass ich vermute und auf irgend ein Zeichen, ob "richtig oder falsch" warte, damit ich weiß, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Ich drücke mich nur so vorsichtig aus, weil ich mir nicht ganz sicher bin und mich ja eben deshalb an dieses Forum, bzw. jetzt an dich, wende.

(2,4) liegt in der Relation, weil 2|4 und auf die 4 komme ich, weil es ein k der natürlichen Zahlen gibt, dass ich mit einem beliebigen b einsetzen kann, in dem Fall
2|2^2 oder 2|4^1. Aus dem Grund liegt dann zum Beispiel auch das Paar (3,6) in der Relation usw. Nur die Paare, für die das passt, in welche Richtung auch immer, können überhaupt in der Relation liegen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704
Mit "annehmen" meinte ich, dass ich vermute und auf irgend ein Zeichen, ob "richtig oder falsch" warte, damit ich weiß, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Ich drücke mich nur so vorsichtig aus, weil ich mir nicht ganz sicher bin und mich ja eben deshalb an dieses Forum, bzw. jetzt an dich, wende.
Für mich hat das mehr den Anschein planlosen Rumratens. Wenn du dir nicht sicher bist ob du richtig liegst solltest du deine Gedanken so ausführlich wie möglich begründen, ist das klar?
Zitat:
Original von jani2704
(2,4) liegt in der Relation, weil 2|4 und auf die 4 komme ich, weil es ein k der natürlichen Zahlen gibt, dass ich mit einem beliebigen b einsetzen kann, in dem Fall 2|2^2 oder 2|4^1. Aus dem Grund liegt dann zum Beispiel auch das Paar (3,6) in der Relation usw. Nur die Paare, für die das passt, in welche Richtung auch immer, können überhaupt in der Relation liegen.
2|2^2 passt bei dem Beispiel (2,4) ja eben nicht, richtig ist 2|4, also k=1. Genauso auch mit (3,6).

Nun prüfe einfach, wie das mit anderen Paaren ist, ob die Umkehrung auch für andere Paare gilt oder ob du da vielleicht mal selbstständig ein Gegenbeispiel findest.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja für (a,b) = (3,9) gilt die Umkehrung nicht, weil 9 nicht die 3 teilt. Wenn k=0 sein darf, dann wäre die Symmetrie gegeben, da 9^0=1 und 1|3.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@Math1986

Prinzipiell ist es ein gutes Verfahren, die Lösung mit dem Fragesteller Stück für Stück im Dialog zu entwickeln. Wenn aber wie hier jemand so völlig im Dunkeln tappt und konkret die definierende Eigenschaft



überhaupt nicht begreift, zum Beispiel den Quantor schon nicht versteht, dann ist zu überlegen, ob man die Lösung für und für nicht besser vorführt, und zwar im Detail. Dann könnte der Fragesteller zur Lösung Fragen stellen und an einem Parallelbeispiel zeigen, daß er die Sache verstanden hat. Und wenn weiter Verständnisprobleme existieren, kann man die dann nach und nach auszuräumen versuchen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann greifen wir das doch von Beginn an nochmal auf:

jani, versuch mal mit eigenen Worten zu beschreiben, wann zwei Zahlen und zueinander in Relation stehen. Was bedeutet die von Leopold zitierte Eigenschaft?
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Iorek,

ja, gerne :-) Also die Zahlen stehen zueinander in einer Beziehung, d. h. - wenig formal ausgedrückt - sie stehen in irgendeiner bestimmten Beziehung zueinander und es verbindet sie eine gemeinsame Eigenschaft.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht wenig formal ausgedrückt, das hat überhaupt keinen Bezug zur Aufgabe. unglücklich



Um die gegebene Relation auf die entsprechenden Eigenschaften zu untersuchen, solltest du dir zuerst klar machen, was das bedeutet.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

naja, da war mir jetzt überhaupt nicht klar, dass sich das auf die Aufgabe beziehen soll. Das war ja eine ganz allgemeine Frage.

Bei dieser Aufgabe sind (a,b) dadurch gekennzeichnet, dass a und b gleiche Primfaktoren haben und das generell für die Potenzen von a gelten muss, dass diese kleiner sind als die Potenzen von b.

Für a|b gilt ja b=a*k. Die Primfaktoren die bei der Zerlegung in a vorkommen, kommen auch in b vor.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

bitte streiche k und ersetze durch m. Das ist hier ja blöd, da k ja den Exponenten darstellt. Aber du hattest dich ja auf das Zitat bezogen ... sorry ... Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommen denn jetzt auf einmal Primfaktoren her? Und wieso sollten und die gleichen Primfaktoren haben? Und wo ist das eine Erklärung der geforderten Eigenschaft?

Also noch einmal: was bedeutet



Keine Primfaktoren oder sonstiges, nur die Bedeutung dieser Zeile.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Also generell steht dort dass das Zahlenpaar (a,b), welches auf einer Relation definiert ist, durch die Eigenschaft gekennzeichnet ist. Dass ein "k" der natürlichen Zahlen existiert, durch das gilt: a teilt b^k.

Meintest du das?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

An der Ausdrucksweise könnte man noch etwas verbessern, aber ja, das meine ich. Zwei Zahlen und stehen in Relation, wenn ein Teiler von ist, wobei eine beliebige natürliche Zahl sein kann.

Was für Zahlen erfüllen jetzt diese Bedingung, stehen also in Relation zueinander? Finde einmal ein paar Zahlenpaare und begründe jeweils ausführlich, wieso diese Zahlen in Relation zueinander stehen (zunächst einmal völlig losgelöst von den Begriffen reflexiv, symmetrisch etc).
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das war auch extrem holprig ... da gibt es einige: (2,4) für 2|4^1; aber wohl auch für 2|4^2 usw. ... (3,6) für 3|6^1 aber auch für 3|6^2 usw. a muss im Prinzip erst einmal nur ein Teiler von b sein. Die Potenz an sich ändert ja nichts an der Teilbarkeit.

Reicht das als Begründung?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Für diese Fälle ja, allerdings hast du dich da ja auf die bereits gefundenen beschränkt. Wie sieht es aber z.B. mit aus? Ist das ein zulässiges Paar? Oder oder ?
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

gute Frage. Bei (9,6) gilt ja zum Beispiel 9|6^2, also ja. Für 5 und 13 gilt es nicht und für das Paar (12,80) auch nicht, da die 5 nicht 13 teilt (egal mit welcher Potenz ich bei 13 rechne), das Gleiche für 12 und 80.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du diese Vermutungen für und auch weiter begründen? Bisher behauptest du nur, dass das nicht geht, das glaube ich dir aber nicht ohne einen Nachweis. (Das soll jetzt nicht hier geschehen, das könntest du aber evtl. nach dieser Aufgabe mal selber angehen).

Ok, jetzt weißt du zumindest ein paar Paare, die die Bedingung erfüllen. Reflexivität war auch schon geklärt, gehen wir die Symmetrie an.

Überprüf doch für alle bisher gefunden Paare einmal, ob auch ein passendes Paar ist.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte dann wieder über die gemeinsamen Teiler argumentiert. Aber egal, stimmt, das ist hier ja nicht das Problem.

Leider bin ich mir nicht ganz sicher, ob jetzt für die Symmetrie gelten muss: b|a^k (das meine ich) oder b^k|a. Ohne den Tipp, werde ich es wohl nicht beantworten können.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist, muss ein Teiler von für (ein) in sein.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke :-)

Dann gilt umgekehrt auch b|a^k.

(4,2) liegt in der Relation, denn 4 teilt 2^2, (6,9) liegt in der Relation, denn 6 teilt 9^4. (6,3) ebenso, da 6|3^21 ...

Also ist die Relation symmetrisch.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jani2704

(6,9) liegt in der Relation, denn 6 teilt 9^4. (6,3) ebenso, da 6|3^21 ...

Kannst du mir das mal vorrechnen?

Zitat:
Original von jani2704
Also ist die Relation symmetrisch.


Unabhängig von den beiden noch zuberechnenden Sachen:bloß weil du es für 3 Elemente nachgerechnet hast, ist die Relation noch lange nicht symmetrisch. Dafür müsstest du das allgemein für alle nachweisen.
jani2704 Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hatte ich mich auch noch verschrieben. 6 teilt natürlich 9^2. Das fehlte gerade noch ...

aber für (a,b) = (1,3) gilt es ja nicht ... denn für (b,a) gilt ja nicht, dass die 3 die 1 teilt.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Auch für würde ich das gerne mal sehen: . Wieso sollte also 6 ein Teiler von 81 sein? geschockt

Für dieses ganz bestimmte, konkrete Paar könnte man jetzt auf die Primfaktoren zu sprechen kommen, mit deinem anderen Beispiel (1,3) kannst du die Symmetrie aber auch leichter widerlegen. Warum kann (3,1) nicht in der Relation liegen, konkret: warum existiert kein mit
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