e-Funktionen mit kleinstem Flächeninhalt

23.02.2014, 18:19

Stuhrmann

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e-Funktionen mit kleinstem Flächeninhalt

Meine Frage:
Gegeben sind zwei e-Funktionen: $\begin{eqnarray*} f_{1} = e^{-ax}; f_{2} = e^{bx} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R ; a,b > 0 \end{eqnarray*}$ . Bestimme a, b so, dass beide Graphen mit der 1. Achse eine Fläche mit möglichst kleinem Inhalt bilden.

Meine Ideen:
Hier bin ich völlig überfragt! Hier muss sicherlich mit dem Grenzwert gerechnet werden, aber ich habe keinen Ansatz wie ich vorgehen könnte.

Zweiten Beitrag hier eingefügt und gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

Wäre dieser Ansatz okay? Man errechnet den Schnittpunkt. Dieser ist S(0,1). Dann betrachtet man, die Graphen zwischen S und 1. Achse. Man stellt fest, je größer a und b gewählt werden, um so kleiner wird der Flächeninhalt zwischen den Graphen und der ersten Achse. Aber ist das ein richtiger Ansatz?

24.02.2014, 16:30

Bürgi

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RE: e-Funktionen mit kleinstem Flächeninhalt
Guten Tag,

anhand der fehlenden Rückmeldungen kannst Du sehen, dass Deine Aufgabenstellung in dieser Form nicht eindeutig lösbar ist.
Grundsätzlich sind Deine Überlegungen (bei dieser Aufgabenstellung) richtig, was aber zu einem wenig befriedigenden Ergebnis führen würde.
Deshalb meine Frage: Ist die Aufgabe tatsächlich in der vorliegenden Form gestellt worden? (Oder vielleicht in einem Exponenten eine Summe? Oder ... verwirrt

verwirrt

)

24.02.2014, 18:06

Stuhrmann

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RE: e-Funktionen mit kleinstem Flächeninhalt
Vielen Dank für die Rückmeldung. Ich habe die Aufgabenstellung - sie stammt aus dem Buch "Elemente der Mathematik,Kl, 12/13" - nochmals geprüft, und sie ist so korrekt wieder gegeben. Diese Aufgabe wurde als "besonders schwierig" eingestuft.

24.02.2014, 18:17

Dopap

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Das ist aber nur so ein Hilfsbuch, kein offizielles , oder ?

24.02.2014, 18:27

Stuhrmann

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Das ist ein offizielles Lehrbuch aus dem Jahre 2011 für den Grundkurs der Sekundarstufe II, Nordrhein-Westfalen. Erschienen im Schroedel - Verlag.

24.02.2014, 19:19

Dopap

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mmh.. und da die Aufgabe sehr schwer ist, muss ich leider passen unglücklich

unglücklich

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24.02.2014, 19:22

Mogelbaum

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Wenn man doch eigentlich für b und a große Werte wählt, geht der Flächeninhalt nicht gegen null ?

24.02.2014, 19:28

Stuhrmann

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Trotzdem danke.

24.02.2014, 19:34

Dopap

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das stimmt schon, aber es steht:

bestimme a,b so, dass...

und darunter verstehe ich 2 Zahlen.

Andererseits könnte deine Antwort auch eine Lösung sein, nicht mathematisch aber vom Trend her gesehen verwirrt

verwirrt

24.02.2014, 19:50

Kasen75

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@Stuhrmann

Kann es sein, dass die Funktionsgraphen im Schnittpunkt orthogonal zueinander stehen sollen ?

24.02.2014, 19:53

Mogelbaum

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Mir ist noch etwas aufgefallen.

Es gilt doch noch: $\begin{eqnarray*} e^{-a \cdot x}=e^{b \cdot x} \to a+b=0 \end{eqnarray*}$

Könnte man nicht damit argumentieren, dass aufgrund $\begin{eqnarray*} a+b=0 \end{eqnarray*}$ , diese Aufgabe nicht lösbar ist, weil man weder für a noch für b einen negativen Wert bekommen darf ?

24.02.2014, 19:57

Kasen75

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Zitat:

Original von Mogelbaum
Mir ist noch etwas aufgefallen.

Es gilt doch noch: $\begin{eqnarray*} e^{-a \cdot x}=e^{b \cdot x} \to a+b=0 \end{eqnarray*}$

Deine Gleichung stimmt nicht ganz. Sie ist $\begin{eqnarray*} -ax=bx \end{eqnarray*}$ . Für x=0 ist die Gleichung wahr.

24.02.2014, 20:05

Mogelbaum

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Hmm

verwirrt

Gelten nicht zwei Bedingungen: $\begin{eqnarray*} x=0 \, \, \, \text{und} \, \, \, a+b=0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} -ax=bx \end{eqnarray*}$ .

Wenn man mit x dividiert, fällt das x weg. oder? verwirrt

verwirrt

24.02.2014, 20:06

Stuhrmann

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Ja, auch ich bin der Auffassung, dass mit a, b Zahlen gemeint sind. Dies ergibt sich ja auch aus der Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R ; a,b > 0 \end{eqnarray*}$ . Allerdings habe ich dann aus der Angabe "...möglichst kleinen Flächeninhalt.." abgeleitet, dass kein exakter Flächeninhalt zu berechnen ist, sondern nur die Feststellung zu treffen ist: $\begin{eqnarray*} \forall a, b \in R: a,b >0 \end{eqnarray*}$ gilt, je größer a,b wird, desto kleiner werden die Flächen unterhalb der beiden Graphen.

24.02.2014, 20:09

Stuhrmann

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Genau. Eine exakte Lösung ist nicht möglich.

24.02.2014, 20:13

Kasen75

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Zitat:

Original von Mogelbaum
Hmm verwirrt

verwirrt

Gelten nicht zwei Bedingungen: $\begin{eqnarray*} x=0 \, \, \, \text{und} \, \, \, a+b=0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} -ax=bx \end{eqnarray*}$ .

Wenn man mit x dividiert, fällt das x weg. oder? verwirrt

verwirrt

Wenn x=0, dann darf man ja nicht durch x dividieren. Für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt es in der Tat keinen Schnittpunkt.

@stuhrmann

Was ist mit der Orthogonalität im Schnittpunkt ? Steht da was in der Aufgabe ?

24.02.2014, 20:17

Stuhrmann

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Vielleicht noch eine Überlegung: b ist das inverse Element zu a. z.B. a= 4 daraus folgt: b=-4 usw. Es gibt also unendlich viele Lösungen auf den ersten Blick. Kann es aber sein, dass die Fläche unterhalb der Graphen einen Grenzwert anstrebt. Wenn ja, wie kann man das berechnen.

24.02.2014, 20:24

Stuhrmann

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Orthogonalität war eine Teilaufgabe. es sollte a, b berechnet werden für den Fall, dass sie sich orthogonal schneiden. Für die Orthogonalität gilt: $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ . Also auch unendlich viele Lösungen. Aber spielt das hier eine Rolle?

24.02.2014, 20:46

Kasen75

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Ja.

Du kannst aber erst einmal die Fläche von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis 0 mit der Funktion $\begin{eqnarray*} e^{bx} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Und dann die Fläche von 0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ mit der Funktion $\begin{eqnarray*} e^{-ax} \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

Dazu musst du jeweils die beiden Funktionen integrieren und dann die Grenzen einsetzen.

24.02.2014, 20:50

Dopap

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An der allgemeinen Zurückhaltung kannst du feststellen, dass keiner mit der "Aufgabe" zufrieden ist.

im Grenzwert hätten wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{g\to \infty} \lim_{a\to \infty} \int_0^g e^{-ax} \dd x =0 \end{eqnarray*}$

für den rechten Ast.

24.02.2014, 21:03

Stuhrmann

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Wenn ich richtig gerechnet habe, $\begin{eqnarray*} F _{1} = \frac{1}{b}; F_{2} = \frac{1}{-a} \end{eqnarray*}$

24.02.2014, 21:07

Dopap

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Zitat:

Original von Stuhrmann
Wenn ich richtig gerechnet habe, $\begin{eqnarray*} F _{1} = \frac{1}{b}; F_{2} = \frac{1}{-a} \end{eqnarray*}$

immer nachdenken: -1/a für einen Flächeninhalt ? unglücklich

unglücklich

24.02.2014, 21:09

Kasen75

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Zitat:

Original von Stuhrmann
Wenn ich richtig gerechnet habe, $\begin{eqnarray*} F _{1} = \frac{1}{b}; F_{2} = \textcolor{red}{+}\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Da es sich um Flächen handelt musst du den Betrag nehmen. Ich habe das Vorzeichen korrigiert.

Jetzt kannst du die Bedingung verwenden, dass 1/b=a. Dann die Flächen addieren und den Term dann über den Parameter a maximieren.

24.02.2014, 21:14

Stuhrmann

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Ja richtig. $\begin{eqnarray*} F_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

24.02.2014, 21:17

Kasen75

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Nee. $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich 0.
Was an meinem Beitrag hast du nicht verstanden ?

24.02.2014, 21:22

Stuhrmann

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Sorry $\begin{eqnarray*} F_{2 } = \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

24.02.2014, 21:28

Kasen75

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Was ist jetzt $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ , wenn du die Beziehung 1/b=a verwendest ?

24.02.2014, 21:30

Stuhrmann

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Wenn ich richtig gerechnet habe: $\begin{eqnarray*} F = 1- \frac{1}{a^{2} } \end{eqnarray*}$

24.02.2014, 21:32

Kasen75

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Was hast du denn gerechnet ? Was soll F darstellen ?

24.02.2014, 21:42

Stuhrmann

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Ja, vielleicht bin ich jetzt völlig von der Rolle. Okay. $\begin{eqnarray*} F = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = a + \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

24.02.2014, 21:43

Kasen75

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Richtig. Jetzt diese Fläche F über den Parameter a minimieren.

24.02.2014, 21:57

Stuhrmann

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$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{da} = 1 - \frac{1}{a^{2} } = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a = \pm \sqrt{1} , F = 2 \end{eqnarray*}$ . Richtig?

24.02.2014, 22:03

Kasen75

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Richtig.

Freude

Freude

Jetzt ist laut Aufgabenstellung nur noch der Wert für b zu bestimmen.

Edit: Und du könntest noch zeigen, dass die zweite Ableitung positiv ist.

24.02.2014, 22:11

Stuhrmann

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$\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$ . Genial. Super und vielen Dank. Das hat richtig Spass gemacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}F }{da} = \frac{2}{a^{3} } >0 \end{eqnarray*}$ , also Minimum

24.02.2014, 22:21

Kasen75

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Genauso meinte ich das mit der zweiten Ableitung.

Freut uns, dass es Dir so viel Spaß gemacht hat. smile

smile

Mit der vollständigen Aufgabenstellung hätte der Spaß nur halb so lang gedauert. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Stuhrmann

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}F }{da^{\textcolor{blue}{2}}} = \frac{2}{a^{3} } >0 \end{eqnarray*}$ , also Minimum

Ich habe noch das Quadrat hinzugefügt-Nur der Form halber.

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