Eckpunkte Polyeder

23.02.2014, 19:06

Trine18

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Eckpunkte Polyeder

Meine Frage:
Ich hab folgendes Polyeder gegeben:
$\begin{eqnarray*} x_1+x_2 \leq 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2+x_3 \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+x_3 \leq 2 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich davon die Eckpunkte bestimmen.

Meine Ideen:
Wenn wir uns die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen anschauen, so ergeben sich folgende: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind das jetzt alles Eckpunkte des Polyeders?

24.02.2014, 13:14

Elvis

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Gelten noch zusätzliche Bedingungen ? Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x_i\ge 0 \end{eqnarray*}$ ? Was ist ein Eckpunkt ?

24.02.2014, 13:46

Trine18

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Nein es gelten keine weiteren Bedingungen dazu und ein Eckpunkt ist nach Definition eine 0-dimensionale Seitenfläche vom Polyeder. Nur kann ich leider damit immer recht wenig anfangen. Ich kanns mir zwar vorstellen, aber hab dann trotzdem Probleme die Eckpunkte auszurechnen und anzugeben.

24.02.2014, 13:57

HAL 9000

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Es gilbt wirklich nicht die Forderungen

$\begin{eqnarray*} x_1\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3\geq 0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Dann ist das ganze kein endliches Polyeder, und es ist seltsam, dass du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen betrachtest - das ist doch dann völlig irrelevant. unglücklich

unglücklich

24.02.2014, 14:08

Trine18

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Hab grad nochmal nachgefragt und wohl vergessen mir die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_i \geq 0 \end{eqnarray*}$ aufzuschreiben. Sorry!

24.02.2014, 14:33

Elvis

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Na also. Mach dir eine Skizze, dann erkennst du die (5) Eckpunkte.

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24.02.2014, 15:01

Trine18

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Also ich hab mir ne Skizze gemacht und würd immer noch sagen, dass die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen die Eckpunkte sind...ist das denn falsch?

24.02.2014, 15:06

HAL 9000

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@Elvis

Ich zähle 7 statt 5. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Trine18

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt gar nicht im Polyeder, da die letzte Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1+x_3\leq 2 \end{eqnarray*}$ verletzt ist, analog für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

Die anderen drei Eckpunkte sind richtig, dafür fehlen aber noch vier andere Eckpunkte: Zunächst mal der Nullpunkt selbst, zwei weitere in der $\begin{eqnarray*} x_1x_2 \end{eqnarray*}$ -Ebene, und dann noch einer im Inneren des ersten Oktanten:

[attach]33349[/attach][attach]33350[/attach]

Salopp gesagt muss für einen Eckpunkt folgendes gelten: Er muss alle sechs Ungleichungen erfüllen, und mindestens drei davon mit Gleichheit. Wenn ich von sechs Ungleichungen spreche, dann meine ich zuzüglich zu den obigen drei noch die drei Nichtnegativitätsungleichungen

$\begin{eqnarray*} x_1\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

24.02.2014, 17:22

Trine18

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Also der im Innern des ersten Oktanten ist doch bestimmt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 3/2 \\ 3/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber wie komme ich auf die anderen beiden? Ist bestimmt gar nicht schwer aber ich stehe grad total aufm Schlauch und weiß nicht, wie ich die berechnen soll, bitte noch einmal um Hilfe

24.02.2014, 17:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Trine18
Also der im Innern des ersten Oktanten ist doch bestimmt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 3/2 \\ 3/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, du meinst vermutlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3/2\\ 3/2\\ 1/2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Trine18
Aber wie komme ich auf die anderen beiden?

Hab ich eigentlich erzählt:

Zitat:

Original von HAL 9000
Salopp gesagt muss für einen Eckpunkt folgendes gelten: Er muss alle sechs Ungleichungen erfüllen, und mindestens drei davon mit Gleichheit.

Folgende Kombinationen hast du noch nicht untersucht: Eine Koordinate = 0 und zwei der drei oberen Ungleichungen mit Gleichheit - genau das liefert die beiden noch fehlenden Punkte (im rechten Schaubild vorn unten).

24.02.2014, 18:05

Trine18

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Sind die fehlenden beiden dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

24.02.2014, 18:08

HAL 9000

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Schwacher Versuch
Alle Koordinaten müssen >0 sein - ist das für deine Punkte erfüllt? geschockt

geschockt

24.02.2014, 18:08

Trine18

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Ja genau ich meinte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3/2\\ 3/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für all deine Hilfe!

24.02.2014, 18:48

Trine18

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Ich trau mich das gar nicht mehr hinzuschreiben, vielleicht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ??

24.02.2014, 19:12

HAL 9000

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Trau dich nur, denn es sind die beiden gesuchten - wie ich schon sagte, die beiden Punkte vorn unten in der Abbildung rechts. Freude

Freude

24.02.2014, 19:15

Trine18

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Tausend danke für deine Geduld und die Erklärungen! Eigentlich ja ganz einfach^^

24.02.2014, 21:27

HAL 9000

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Da mich ein wenig der Spieltrieb erfasst hat, habe ich noch ein kleines Filmchen gemacht:

[attach]33366[/attach]

25.02.2014, 19:31

mYthos

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Hübsch!

smile

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