Matrix X aus Matrizengleichung ?

23.02.2014, 22:00

HightronicDesign

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Matrix X aus Matrizengleichung ?

Meine Frage:
Hallo,

Folgendes :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = X \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Jetzt müsste ich die Matrix X berechnen.

Mir ist aber nicht ganz klar wie. Weil wie kommt es dass man eine 3x4 Matrix mit einer 3x3 Matrix gleichsetzt ? O.o

23.02.2014, 22:12

Helferlein

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Wo steht etwas von gleichsetzen?
Links steht eine 4x3-Matrix, rechts das Produkt aus einer unbekannten Matrix und einer 3x3. Damit das ganze wieder eine 4x3 ergibt, muss X also welches Format haben?

Alternativ kannst Du Dir auch überlegen, ob die 3x3-Matrix zufälliger Weise invertierbar ist und wenn, dann mit Hilfe der Inversen die Gleichung direkt nach X auflösen.

23.02.2014, 23:29

HightronicDesign

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Gut ich hab jetzt die inverse der 3x3 Matrix gebildet :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ?

Mir ist nicht ganz klar woran ich die Dimension von X erkennen kann .

23.02.2014, 23:54

Helferlein

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Lass das mit der Größe der Matrix mal weg.
Du hast eine Gleichung der Form A=XB und willst rechts das B wegbekommen. Wie musst Du da das Inverse einsetzen?

24.02.2014, 00:03

HightronicDesign

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Also dann ist $\begin{eqnarray*} X = A * B^{-1} \end{eqnarray*}$

Das heisst dann -->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1& 1 & 0 \\ 3 & -1 & -1\end{pmatrix} = X \end{eqnarray*}$

Stimmts so ?

24.02.2014, 00:35

HightronicDesign

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Ergebnis für X :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 1& -1 & 1 \\ 4 & -1& -1 \\ 2& 0& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sollte stimmen laut online rechner.

Vielen Dank für deine Hilfe Freude

Freude

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24.02.2014, 01:12

HightronicDesign

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Sry für den dritten Post hintereinander, nur ich hab noch ein Beispiel angefangen was ähnlich ist und jetzt hauts nicht mehr so hin.

Angabe : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix} A \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 5 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 3 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Versucht habe ich von den Beiden Matrizen neben A die inversen zu bilden und diese dann mit der Rechten Seite zu multiplizieren um dann A zu bekommen.
Das Ergebnis stimmt leider nicht.

Dann habe ich noch versucht die Matrizen neben A zu multiplizieren und dann die inverse zu bilden und dann diese mit der rechten Seite zu multiplizieren leider auch ohne Erfolg.

Was muss ich da jetzt anders machen ?

24.02.2014, 06:55

Helferlein

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Da beide Matrizen invertierbar sind läuft es prinzipiell gleich:
$\begin{eqnarray*} XAY=C \Rightarrow XA=? \Rightarrow A=? \end{eqnarray*}$

24.02.2014, 12:40

HightronicDesign

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Wann ist eine Matrix eigentlich invertierbar?

24.02.2014, 13:06

klarsoweit

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Für das Abfragen von Definitionen ist das hier die falsche Plattform. Siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Invertierbare_Matrix
smile

smile

24.02.2014, 14:45

HightronicDesign

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Ok danke hab mich jetzt etwas in den Wikipedia Artikel eingelesen und habe dabei entdeckt dass es mehrere Möglichkeiten gibt.

Ich habe bisher immer nur die Methode mit Gauß und der Einheitsmatrix benutzt.

Jetzt interessiert es mich ob ich diese Methode auf alle Matrizen die invertierbar sind anwenden kann?
Wenn ja würde ich mir das rechnen mit der Formel und der Determinante sparen.

___________________________

Soweit zur Theorie.

Zurück zum Beispiel müsste ja dann $\begin{eqnarray*} A = (C*Y^{-1}) * X^{-1} \end{eqnarray*}$ sein ?!

Oder denke ich da falsch ?

24.02.2014, 14:56

HightronicDesign

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Meine Lösung für A lautet nun : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weiss nicht obs richtig ist.

24.02.2014, 15:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von HightronicDesign
Zurück zum Beispiel müsste ja dann $\begin{eqnarray*} A = (C*Y^{-1}) * X^{-1} \end{eqnarray*}$ sein ?!

Du mußt feinfühlig darauf achten, ob du von rechts oder von links mit der inversen Matrix multiplizierst. smile

smile

24.02.2014, 15:08

HightronicDesign

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Wo ist dabei der Unterschied ? Wie müsste es denn sonst lauten ?

24.02.2014, 15:13

klarsoweit

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Der Unterschied ist, daß die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Bei $\begin{eqnarray*} XAY=C \end{eqnarray*}$ mußt du von links mit $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ und von rechts mit $\begin{eqnarray*} Y^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

24.02.2014, 15:36

HightronicDesign

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Wie bitte ? Hammer

Hammer

Wie kann ich rechts und links multiplizieren ? Gehst du vom Gleichheitszeichen aus ?

Also auf der linken Seite mit $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ und auf der rechten Seite mit $\begin{eqnarray*} Y^{-1} \end{eqnarray*}$

?

24.02.2014, 15:46

klarsoweit

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So ist es. Das ist doch simple Gruppentheorie. Aus a = b folgt a*c = b*c bzw. c*a = c*b. Aber eben nicht a*c = c*b. Das geht nur, wenn auch das Kommutativgesetz gilt.

24.02.2014, 15:49

HightronicDesign

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Ja aber dann hab ich das ja so stehen und bringt mir ja genau nichts ?

$\begin{eqnarray*} X A Y X^{1} = C Y^{-1} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

24.02.2014, 16:03

klarsoweit

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Woher kommt denn jetzt das X^1 auf der linken Seite? verwirrt

verwirrt

Aus $\begin{eqnarray*} X A Y = C \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} X A Y Y^{-1} = C Y^{-1} \end{eqnarray*}$ .

24.02.2014, 16:13

HightronicDesign

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Achso läuft das.

Das heisst jetzt nachdem ich das $\begin{eqnarray*} X A Y Y^{1} = C Y^{-1} \end{eqnarray*}$ habe rechne ich dann alles noch mal mit $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ und erhalte dann $\begin{eqnarray*} XX^{-1} A Y Y^{1} = C Y^{-1} X^{-1} \end{eqnarray*}$ , somit fällt auf der linken Seite XY weg und das Ergebnis der Rechten Seite ist dann die Lösung für A ?

24.02.2014, 18:17

RavenOnJ

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Zitat:

Original von HightronicDesign

Das heisst jetzt nachdem ich das $\begin{eqnarray*} X A Y Y^{{\color{red}-}1} = C Y^{-1} \end{eqnarray*}$ habe rechne ich dann alles noch mal mit $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ und erhalte dann $\begin{eqnarray*} XX^{-1} A Y Y^{1} = C Y^{-1} X^{-1} \end{eqnarray*}$ , somit fällt auf der linken Seite XY weg und das Ergebnis der Rechten Seite ist dann die Lösung für A ?

Nein, so läuft's nicht, zumindest nicht so, wie du geschrieben hast.

Du musst bei Matrixmultiplikationen genau auf die Reihenfolge der Faktoren achten, da die Plutimikation nicht kommutativ ist. Also i.d.R. gilt:
$\begin{eqnarray*} AB\not= BA \end{eqnarray*}$
und hier
$\begin{eqnarray*} X^{-1}CY^{-1}\not= CY^{-1}X^{-1} \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite ist die von dir falsch geschriebene Reihenfolge der Faktoren zufälligerweise egal, da $\begin{eqnarray*} X^{-1}X = XX^{-1} \end{eqnarray*}$ . Es muss richtig heißen
$\begin{eqnarray*} A = X^{-1} XA Y Y^{-1} = X^{-1}C Y^{-1} \end{eqnarray*}$

24.02.2014, 19:33

HightronicDesign

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Ohh ok habs jetzt danke.

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