Hubarbeit beim Pyramidenbau

25.02.2014, 19:35

Bonheur

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Hubarbeit beim Pyramidenbau

Die Cheospyramide bei Gizeh wurde vor fast 5000 Jahren als Grabstätte für den Pharao Cheops erbaut. Die Bauzeit betrug 20 Jahre. Zehntausende von Arbeitern waren gleichzeitig beim Bau des Monuments eingesetzt. Die Hauptarbeit wurde während der jährlichen Überschwemmung der Felder durch den Nil geleistet. Die Grundfläche der Pyramide maß 230 Meter im Quadrat. Die Höhe betrug 146 Meter. In 210 Gesteinsschichten wurden über 2 Millionen Kalksandsteinblöcke mit Seitenlängen von 0,5 bis 1,5 m verbaut. Wie diese technische Meisterleistung im einzelnen vollbracht werden konnte, ist bis heute unbekannt.

Nun hat man versucht, die Hubarbeit zu bestimmen.

Idee:

[attach]33375[/attach]

Ich habe eine Scheibe von einer Pyramide gezeichnet. Jetzt könnte ich Beziehungen herstellen, aber ich weiß nicht wie ich das machen soll.

Vielen Dank

25.02.2014, 20:33

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Hallo, Bonheur.

Ich habe eine Idee, wie das geht. Es fehlt allerdings noch eine Information, um das Problem zu lösen, nämlich: Was ist das spezifische Gewicht von Kalksandsandstein? Du beschaffst diese Information, und ich modifiriere in der Zwischenzeit ein bischen Deine Zeichnung, und anschließend hören wir uns wieder. Sollen wir das so machen?

Und dann kriegen wir zusammen raus, was die Leute damals so malochen mußten.

25.02.2014, 20:40

Bonheur

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Hallo, Count von Count.

Eine super Idee smile

smile

25.02.2014, 20:54

Count von Count

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Finde ich auch.

Hier ist schon mal das Bild. Weißt Du, wie schwer der Sandstein ist?

25.02.2014, 21:00

Bonheur

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Leider habe ich nur die Dichte von Sandstein gefunden: $\begin{eqnarray*} \rho =2500 \, \, \frac{kg}{m^{3}} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht mit der Formel: $\begin{eqnarray*} \rho=\frac{m}{V} \to V=\rho \cdot m \end{eqnarray*}$ die Masse zu bestimmen.

Allerdings fehlt mir das Volumen verwirrt

verwirrt

25.02.2014, 21:04

Count von Count

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Ist doch super.
Ich habe mich leider nicht ganz korrekt ausgedrückt. Also, die Dichte ist genau das, was wir brauchen. Jetzt können wir anfangen zu rechnen.

Hast Du in der Schule auch Physik? Kennst Du die Definition der Hubarbeit?

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25.02.2014, 21:07

Bonheur

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Ja.

smile

Physik ist eines meiner Lieblingsfächer.

Die Hubarbeit ergibt sich aus der Gravitationsfeldkonstante und aus der Masse und die Höhe um wie viel der Körper hochgehoben wird.

$\begin{eqnarray*} F_{h}=m \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

oder?

25.02.2014, 21:31

Count von Count

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Das ist korrekt (benutze aber für Arbeit besser den Buchstaben W statt F).

Nun gehts aber los mit der Integralrechnung. Die machen wir diesmal nach Art der Physiker (solche Leute haben ein recht entspanntes Verhältnis zur Mathematik, da streuben sich den Mathe-Theoretikern schon mal die Haare, ist uns aber egal).

Also, hier ist der Plan:
Wir könnten für jeden Stein einzeln die Hubarbeit berechnen, und zum Schluß alles zusammenaddieren. Ist aber zu viel Aufwand. Deshalb tun wir so, als hätten wir ganz ganz viele ganz ganz kleine Steine (es seien unendlich viele infinitesimal kleine Steine), die wir aufeinanderhäufen. Wir bauen die Pyramide in Stufen auf (deren Höhe natürlich auch infinitesimal klein ist).

Das Volumen einer solchen Stufe berechnet aus ihrer Grundfläche und ihrer Höhe. Die Grundfläche ist ein Quadrat, die Höhe ist sozusagen ein Differenzial. (Den Mathe-Freaks kocht jetzt schon das Blut, ich weiß).
Wie berechnet sich das Volumen einer solchen Stufe, wenn deren Seitenlänge a ist (die Höhe sei dh)?

25.02.2014, 22:04

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} V=a^{2} \cdot \Delta{h} \end{eqnarray*}$

So?

25.02.2014, 22:23

Count von Count

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Ja klar.
Weil unsere Stufen aber "unendlich dünn" sein sollen, verwandelt sich das $\begin{eqnarray*} \Delta h \end{eqnarray*}$ in ein $\begin{eqnarray*} \mathrm d h \end{eqnarray*}$ . Das "d" bei dem dh ist übrigens das gleiche d, daß Du schon aus der Differential- und Integralrechnung kennst. Es ist sowas wie ein unendlich kleines delta.

Die Physiker würden Deine Formel so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \mathrm d V = a^2 \cdot \mathrm d h \end{eqnarray*}$

Einen Moment bitte, ich kipp mal kurz die Pyramide um.

Verzeihung. Irgendwie bin ich bei den letzten zwei Nachrichten völlig mit dem Formeleditor durcheinander gekommen. Erstaunt2

Erstaunt2

Edit Equester: Latex berichtigt.

25.02.2014, 22:39

Bonheur

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Macht nichts. Ich habe erkannt, was du meinst. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \mathrm d V = a^2 \cdot \mathrm d h \end{eqnarray*}$

Ich habe irgendwie den Verdacht, dass man die Formel für die Hubkraft, dort anwenden kann.

$\begin{eqnarray*} I: \, W_{G}=m \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rho=\frac{m}{V} \to V=\rho \cdot m \to m= \frac{V}{\rho} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} W_{G}=\frac{V}{\rho} \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{G}=\frac{a^2 \cdot \mathrm d h}{\rho} \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

Kann dieser Gedanke stimmen ? smile

smile

25.02.2014, 22:44

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
So, hier ist nochmal Deiner Formel nach Art der Physiker (hoffentlich klappt's dieses Mal):

$\begin{eqnarray*} \mathrm d V = a^2 \cdot \mathrm d h \end{eqnarray*}$

Und jetzt die umgekippte Pyramide:

25.02.2014, 22:51

Bonheur

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Verstehe.

Zitat:

Macht nichts. Ich habe erkannt, was du meinst. smile

$\begin{eqnarray*} \mathrm d V = a^2 \cdot \mathrm d h \end{eqnarray*}$

Ich habe irgendwie den Verdacht, dass man die Formel für die Hubkraft, dort anwenden kann.

$\begin{eqnarray*} I: \, W_{G}=m \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rho=\frac{m}{V} \to V=\rho \cdot m \to m= \frac{V}{\rho} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} W_{G}=\frac{V}{\rho} \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{G}=\frac{a^2 \cdot \mathrm d h}{\rho} \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

Hier habe ich einen Fehler bei der Umformung gemacht:
$\begin{eqnarray*} \rho=\frac{m}{V} \to m=\rho \cdot V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I: \, W_{G}=m \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{G}=V \cdot \rho \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{G}=a^2 \cdot \mathrm d h \cdot \rho \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$

Muss man nun an der Höhe arbeiten ?

25.02.2014, 23:08

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Ja, Dein Gedanke ist richtig.
Ich mach mal kurz die Feinarbeit an Deiner letzten Formel (möge mich der Editor nicht im Stich lassen): Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} \mathrm d W_G = \frac{a^2 \cdot g \cdot h(x)}{\rho} ~ \mathrm d h \end{eqnarray*}$

Ich hab das dh nach hinten gestellt (sieht so besser aus, ist nur Kosmetik), und aus dem W_G ist ein dW_G geworden.

Ich habe die Pyramide umgeworfen, wie Du im Bild siehst (das vereinfacht die kommenden Rechnungen ein wenig, vor allem, wenn's schließlich um die Integralgrenzen geht). Das x entspricht jetzt unserer Höhe, in die die Steine geschlört werden müssen.

Es ist

$\begin{eqnarray*} \mathrm d V = \left[ g(x) \right]^2 \cdot \mathrm d x \end{eqnarray*}$

Wir brauchen die Gleichung der gestrichelten Geraden g. Krieg' die doch bitte mal eben raus.

25.02.2014, 23:10

Bonheur

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Count von Count, können wir morgen weitermachen ? smile

smile

Ich bin voll müde.

Das wäre sehr nett von dir und danke nochmal für die herausragende und kompetente Hilfe smile

smile

25.02.2014, 23:16

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
'tschuldigung. Hab Mist gebaut in der Formel mit dem dW_G: das rho gehört natürlich in den Zähler. Finger1

Finger1

25.02.2014, 23:21

Count von Count

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Habe ich jetzt erst gesehen.
Ja klar, lass uns morgen weitermachen. Ich bin auch müde.
Bis dann.

03.03.2014, 16:11

Bonheur

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Hallo, Count von Count

Es tut mir leid, dass ich nicht geantwortet habe, war die ganze Woche beschäftigt.

Wenn du möchtest, können wir nun weitermachen. smile

smile

03.03.2014, 16:29

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Ja gerne.

Heute auf Rosenmontag stelle ich mir vor, es seien Narren gewesen, die da vor 4500 Jahren auf die Idee kamen, die Wüste mit riesigen halbierten Oktaedern zu verzieren. Und man muß wohl schon ein ziemlicher Schelm sein, so eine Idee auch in die Tat umzusetzen.

Nun denn, weißt Du inzwischen die Geradengleichung?

03.03.2014, 16:36

Bonheur

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smile

Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} V=\left(\frac{a}{h}\right)^{2} \cdot h-x \end{eqnarray*}$

so hier?

03.03.2014, 16:56

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Nein nein,
Du hast zu kompliziert gedacht. Es geht um die ganz normale Gleichung der Geraden, die durch die Punkte (0,115) und (146,0) geht (das ist eine Seitenwand der umgekippten Pyramide)

Hier nochmal die Zeichnung mit Zahlenangaben:

03.03.2014, 17:00

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Wir brauchen also sowas in der Art y=m*x+b

03.03.2014, 17:02

Bonheur

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Verstehe.

Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} m_{Sekante}=\frac{0-115}{146-0}=-0,7876 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x)=-0,7876x+115 \end{eqnarray*}$

03.03.2014, 17:22

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Jo, das isses.

Nennen wir die Gleichung der Einfachheit halber

$\begin{eqnarray*} f(x)=-0,788 x +115 \mathrm m \end{eqnarray*}$ (Das m steht für Meter, der Physiker schreibt gern die Einheiten mit)

Und weiter geht's mit Mathe im Physikerstyle:

$\begin{eqnarray*} dm = \rho \cdot dV \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dW = dm \cdot g \cdot x = \rho \cdot dV \cdot g \cdot x = \rho \cdot \left[ 2 \cdot f(x) \right]^2 \cdot dx \cdot g \cdot x \end{eqnarray*}$

Puh, das ist nun die Formel für das Differential der Hubarbeit. Ist Dir klar, wie die entstanden ist? Du darfst gerne Fragen dazu stellen.

03.03.2014, 17:25

Bonheur

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smile

Ich habe den letzten Ausdruck nicht verstanden.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dW = \rho \cdot \left[ 2 \cdot f(x) \right]^2 \cdot dx \cdot g \cdot x \end{eqnarray*}$

Warum gilt für $\begin{eqnarray*} V=[2 \cdot f(x)]^2 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

03.03.2014, 17:36

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Achtung! Das dx zählt noch mit zum Volumenelement:

$\begin{eqnarray*} dV = \left[ 2 \cdot f(x) \right]^2 \cdot dx \end{eqnarray*}$

Betrachte die vorletzte Zeichnung (das müßte die auf Seite 1 sein). Da ist dV in rot eingezeichnet: die Grundfläche von dV ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 2*f(x), denn die Seite geht ja bis zur anderen Pyramidenseite weiter. Und die "Höhe" von dV ist dx.

03.03.2014, 17:44

Bonheur

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Jetzt habe ich es verstanden.

smile

smile

Kann man nun mit dieser Formel, die Hubarbeit in jedem Kontext bestimmen ? Das wär "ja" krass smile

smile

.

03.03.2014, 17:55

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Im Prinzip ja, man kann das so machen.
Alles, was man wissen muß, ist eine Formel für die Grundfläche des Volumenelements dV, das wäre z.B bei uns [2*f(x)]².
(Sollte die Grundfläche ein Kreis sein, dann nimmst Du einfach pi*[f(x)]², für ein Dreieck die Flächenformel für Dreiecke usw.)

03.03.2014, 17:58

Bonheur

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Verstehe.

smile

Okay^^

Vielen Dank smile

smile

für die wunderbare Herleitung und für die qualitative Hilfe smile

smile

03.03.2014, 18:17

Count von Count

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RE: Hubarbeit beim Pyramidenbau
Hey da, Du weißt doch immer noch nicht die Arbeit, die die Narren damals geleistet haben!

Ich verschönere 'mal die Formel für die Hubarbeit. Ausrechnen kannst Du dann schon selbst, wieviele Joule in so einer Pyramide drinstecken:

$\begin{eqnarray*} W=\int_0^{146 \mathrm m} \! \rho \cdot g \cdot x \cdot \left[ 2 \cdot f(x) \right]^2 \, dx = 4 \cdot \rho \cdot g \cdot \int_0^{146 \mathrm m} \! \left[x \cdot \left( -0,788x+115 \mathrm m \right)^2 \right] \, dx \end{eqnarray*}$

Da kommen schon einige Terajoule zusammen.

Und ich hab schon wieder eine Zusatzfrage: Wie viele Jahre müßte ein einzelner gut trainierter Pyramidensklave Steine schleppen, wenn er ununterbrochen (ohne Pause, ohne Schlafen, ohne Essen) eine Leistung von 100 Watt erbringen könnte?

Bis demnächst

smile

smile

03.03.2014, 18:28

Bonheur

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Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} W=2302643410341,7 \, \text{Joule} \end{eqnarray*}$

smile

smile

Zu der Zusatzaufgabe:

Ich habe mir überlegt erst 100 Watt in Joule umzuwandeln.

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} 100 \, \text{Watt} \overset{\wedge}{=} 360000 \, \text{Joule} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich irgendwie die Zeit miteinfließen lassen. smile

smile

Hmm

verwirrt

03.03.2014, 18:41

Dopap

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In der Funktion f(x) wurde auf 3 Ziffern gerundet.

Ein Ergebnis mit 13 Ziffern ist demnach nur Datenschrott. In Physik immer die Gesamtgenauigkeit im Auge behalten !

03.03.2014, 18:45

Count von Count

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Ja, das stimmt, das sind etwa 2,3 TJ (das ist 'ne verdammte Menge Arbeit).

Zur Zusatzfrage:
Achtung: Du kannst nicht einfach Watt in Joule umwandeln (Du kannst ja auch nicht m² in kg umwandeln)

Also: Ein Watt leistet man, wenn man in einer Sekunde eine Arbeit von einem Joule erbringt. Mit anderen Worten:

$\begin{eqnarray*} 1 W = 1 \frac{J}{s} \end{eqnarray*}$

Tip: Rechne erst die Sekunden aus, und daraus dann die Jahre (Der arme Kerl müßte alt werden, sehr alt, sogar sehr sehr alt. Und vor allen Dingen: er müßte die ganze Zeit fit und hoch motiviert bleiben).

03.03.2014, 18:49

Dopap

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auch dazu gibt es eine Formel:

$\begin{eqnarray*} W=P\cdot t \end{eqnarray*}$

man braucht dann keinen Dreisatz.

03.03.2014, 19:08

Bonheur

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Muss man hier integrieren ?

$\begin{eqnarray*} W=P\cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{100}P \cdot t~dP \end{eqnarray*}$

oder?

03.03.2014, 19:14

Count von Count

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Gar nicht mehr integrieren. Der schwere Teil der Aufgabe ist erledigt. Es ist einfach

$\begin{eqnarray*} t=\frac{W}{P} = \frac{2,3 TJ}{100 W} = .... s? \end{eqnarray*}$

Und jetzt in Jahre umrechnen.

03.03.2014, 19:27

Bonheur

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Stimmt.

$\begin{eqnarray*} W=P\cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{W}{P} = \frac{2,3 TJ}{100 W} = 4,6 \cdot 10^{10} s \end{eqnarray*}$

Das machen:

1459,33 Jahre oder?

03.03.2014, 19:51

Count von Count

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Da ist Dir irgendwo ein Faktor zwei zwischen die Beine gegrätscht (gemeines Foul).

$\begin{eqnarray*} \frac{2,3 \cdot 10^{12} J }{100 \frac{J}{s} } = 2,3 \cdot 10^{10} s \approx 729 ~~ {Jahre} \end{eqnarray*}$

einerseits. Andererseits haben wir ja noch garnicht die Reibung, die Arbeit für den Bau der Rampen für die Steine, die Arbeit für die Entfernung der Rampen nach Fertigstellung der Pyramide usw. berücksichtigt.
Alles in allem liegst Du also mit Deiner Schätzung doch näher an der Realität als ich mit meiner.

Uih, was 'ne Ackerei. Also, mehr als 1000 Jahre schwere Steinquader bergauf ziehen, das wär nicht so mein Ding.
Dann doch lieber Mathe machen.

So long, und jetzt trinken wir auf die fertige Pyramide

Prost

Prost

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