Funktionsschar dritten Grades Nullstellen / Hoch und Tiefpunkte

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Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsschar dritten Grades Nullstellen / Hoch und Tiefpunkte
Meine Frage:
Hallo Gemeinde

da ich grad meinem Bruder helfen will, jedoch viel zu lange aus dem Studium raus bin, steh ich grad aufm Schlauch.

Und zwar geht es um Funktionsscharen.

Für diese (dazugehörigen) Parabeln soll nachgewiesen werden warum die genau 3 Nullstellen hat, und wo diese sind.
Desweiteren wird gefragt warum die Parabeln jeweils einen Hoch und Tiefpunkt haben, Wo diese sind, und was die dazugehörige Ortskurve ist

Meine Ideen:
Also Grundvorraussetzung bringe ich lediglich verständnis mit, aber mein Wissen ist irgendwo in den untiefen zwischen Excel VBA und Makroökonomie verschwunden -.-'

Was ich schonmal gemacht habe sind die Ableitungen




Desweiteren hab ich mir gedacht das eine Nullstelle bei X=0 sein müsste da jeder Term ein X enthält und somit 0+0+0 = 0 ist

wie ihr seht ich bin mahtematisch gesehen bei null, kann aber ganz gut logisch denken =D auch wenn mir das grad nicht weiter hilft.

Wenn sich jemand meiner Annimmt, wäre das sehr nett. Zudem würde ich neben dem Ergebnis auch den Weg benötigen, damit ich es verstehe und auch reproduzieren kann.

Thanks in Advance
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Nullstellen zu berechnen musst du



setzen. Eine Nullstelle hast du bereits richtig bestimmt. Deine Ableitungen sind auch korrekt.

Ich würde ehrlich gesagt aber empfehlen, dass du lieber deinen Bruder vor den PC setzt damit wir es direkt mit ihm durchrechnen können.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gmaster

vielen Dank für deine Zügige Rückmeldung.

Das mit dem Nullsetzten dacht ich mir schon fast.
Das kenn ich auch noch von der quadr. Funktion :-D

Ich hatte auch schon versucht das mit Equivalenzumformung zu Ermitteln bin da aber mangels Handwerkszeug gescheitert.

Zum Thema Bruder. Ja, grundsätzlich gebe ich dir recht. Der hat jedoch noch weniger Dunst und wir sind uns auch nicht sicher ob er das ABI schafft, aber deswegen versuch ich mich da reinzuknien.
Zudem wurmt es mich extrem dass ich so gar nix mehr weiß.

Von daher wär es toll wenn du/ihr auch mit mir Vorlieb nehmen könntet.

Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist es natürlich egal. Ich fände es halt irgendwie sinnvoller wenn ich es direkt deinem Bruder erkläre und nicht der "Umweg" über dich besteht. Da wird dann ja auch wahrscheinlich etwas von der Information verloren gehen die ich dir gebe, wenn du verstehst wie ich das meine. Aber grundsätzlich finde ich es ja toll, dass du deinem Bruder helfen möchtest oder dich nochmal mit diesen Themen beschäftigst. Das sollte man nämlich auch wohl als VWL Student können.

Erstmal zu den Nullstellen:





Die erste Nullstelle hast du schon richtig bestimmt. x=0
Um auch rechnerisch auf x=0 zu kommen wird hier das x ausgeklammert. Dann hast du auch wieder eine dir bekannte quadratische Gleichung vorliegen.

Kannst du das x ausklammern?
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank

witzig ich bin unterdesses auf genau die gleiche Lösung gestoßen komm aber grad nicht weiter vlei hab ich auch grad nen Fehler drin

Ausgeklammert


dann in die Normalform also durch "a" da ja x =0 (weil erste Nullstelle)

dann in die pq-Formel







Soo und nun Stockt es grad ...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du ausklammerst erhältst du erstmal nur



Hier gilt nun der Satz vom Nullprodukt.
Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.
Unser Produkt setzt sich nun aus den Faktoren und zusammen.



Und um



zu lösen benötigen wir die pq-Formel, richtig.
Also teilen wir durch a. Dabei sind dir einige (Tipp)fehler passiert.



p ist nur der Vorfaktor des x, für q beachte auch das Vorzeichen.








Da wir in der pq-Formel -q rechnen, also , erhalten wir unter der Wurzel die Addition.

Fasse nun erst einmal unterhalb der Wurzel zusammen. Dann lässt sich leicht die Wurzel ziehen. Stelle dir auch die Frage warum wir die Wurzel ziehen können, bzw. wann wir die Wurzel nicht ziehen können.
 
 
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank nochmals.

Also du hast recht es waren einige Fehler. Einige habe ich auch versucht auszubessern (3Edits)
Add1 Ich hab den kompletten Term statt nur den "Vorfaktor" für p und q angenommen was in letzter Konsequenz zu einem heillosen variablenchaos in der p/q formel führte

Also



Den bereich unter der Wurzel auf den gleichen Nenner bringen (also rechten Term mit 4 Multiplizieren)

somit steht unter der Wurzel


anschliessend addieren und die 5 wegkürzen
somit verbleibt a^2

Da ich unter der Wurzel ein quadrat habe, kann ich meines Wissens nach immer eine Wurzel ziehen. (mit irrationalen Zahlen hab ich nie gerechnet und daher keinen dunst was da passiert)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie möchtest du denn da die 5 wegkürzen?
Das geht nicht.

Zusammengefasst erhalten wir



Und das war es erst einmal.

Ob man die Wurzel ziehen kann oder nicht hängt davon ab ob positiv oder negativ ist.
Wenn



ist, dann geht das nicht.
Warum können wir hier immer die Wurzel ziehen?

Um weiter zu kommen bedenke, dass



gilt.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Das passiert mir Ständig

ich hatte 4a^2 + a^2 im kopf zusammen gezogen -.-'

und ist nicht IMMER positiv?
a darf in dem Fall doch nur nicht 0 werden.
oder lieg ich da falsch?

und dann steht der term aufgelöst



Oder hab ich das auch falsch gemacht ? -.-#
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, ist immer positiv, weil ist.
Das ist, ist bereits in der Aufgabenstellung ausgeschlossen.

Das einzige wo man jetzt noch meckern könnte wäre, dass die Schreibweise

streng genommen bedeutet, aber es ist klar was du meinst. Allerdings da ruhig drauf aufpassen, dass du lieber zu viele Klammern als zu wenig setzt, gerade bei Brüchen um Zähler und Nenner. Hier ist natürlich klar was du meinst.

Wir haben nun also



Wie lauten also und ?
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt einfach das krieg sogar ich hin =) (Hoff ich)







Richtig ?

Und die Dritte ist von vorhin


So und möchte ich jetzt zu den Hoch und Tiefpunkten muss ich doch die erste Ableitung Null setzen

Hab da mal angefangen









Stimmt das soweit oder bin ich auf dem Woodway?

Und vielen Dank das du mich so tatkräftig unterstützt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jack_D







So solltest du es nicht aufschreiben, denn wenn du bereits hier die Normalform erzeugen willst und durch 3a dividierst, dann musst du es auch auf der linken Seite tun, also hättest du dann



Ansonsten:

Woher kommt auf einmal die 4 bei ?

Edit: Und natürlich auch das beachten.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Die 4 kam von der Erweiterung der Brüche.
Denn
N / M /3a ist
Ja soviel wie N/M * 1/(3a)
Oder ni?

Und wo kommt das a^2?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo erweiterst du denn den Bruch?

Bedenke, dass du durch 3a dividiert hast. Du rechnest also



Fehler erkannt?
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ja

Ich hab den Fehler gemacht das ich anschliessend addiert und nicht Multipliziert hab -.- narr

Aber selbst dann passt es nicht grmlz
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn nun erstmal deine erste Ableitung?
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen Gmaster

Sorry meine späte Antwort, ich war gestern nur noch mit Handy online, da hab ich nicht gesehen das wir auf die 2. Seite gesprungen sind.

Die erste Ableitung in der normalform lautet dann



p und q müssten demnach dann



sein

Oder? hab ich irgendwo nen Schritt vergessen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt solltest du es vermeiden die Normalform zu diesem Zeitpunkt der Rechnung zu erzeugen. Du vergisst nämlich die durchgeführte Division auch auf der linken Seite der Gleichung durchzuführen. Das ist falsch. Bei der Berechnung der Nullstellen bemerkst du dies nicht, aber spätestens deine zweite Ableitung wird dann fehlerhaft.





p und q hast du richtig bestimmt. Wende nun die pq-Formel an.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und vielen Dank für deine Mühe

Also
p/q in x1/2 eingesetzt



Dann die ganzen Vereinfachungen und kürzungen und ausrechnungen =)









jetzt entwurzeln



kürzen



Lösung





In der Hoffnung das ich diesmal alles Richtig gemacht hab =)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß zwar nicht warum du von der ersten auf die zweite Zeile auf einmal das Minuszeichen vor den vergisst, aber ansonsten passt es, wenn du diesen Fehler korrigierst.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Weil das ein Vorzeichenfehler ist, und ich die über alles Liebe Big Laugh
Das passiert mir ständig -.-

Dann sind die Lösungen aber







ODer?

Nun. hab ich ja in der 2. Ableitung die Extremwerte bestimmt
Muss ich die analog der Wendepunkte noch in der 3. Ableitung verifizieren?

Und dann bräuchte ich noch diese "Orstkurve" davon hab ich noch nie was gehört?

Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lauten denn nun erstmal deine korrigierten x-Werte der Extrempunkte.
Danach musst du den zugehörigen y-Wert bestimmen. Wie?
Dann interessiert uns ob es einen Hoch oder Tiefpunkt gibt.

Edit: Die Lösungen passen.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Naja intuitiv würde ich sagen ich muss die In F(x)'' einsetzen

Und dann war das nicht so, dass wenn
<= 0 dann Maximum / Hochpunkt
>= 0 dann Minimum /Tiefpunkt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du die x-Wert in die zweite Ableitung einsetzt, dann kannst du bestimmen ob es sich um ein lokales Maximum oder Minimum handelt.

Und wo musst du es einsetzen um den y-Wert zu bekommen?
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal einfach angefangen
für x1








Für x2







Edith : Und wenn ich die Y Werte brauche muss ich die theoretisch nur in die Ursprungsfunktion einzusetzen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Um die y-Werte zu berechnen musst du in die ursprüngliche Funktion einsetzen, richtig.

Du begehst hier wieder einen Rechenfehler.
Du rechnest nämlich:



Selbes gilt für den anderen Wert.
Du machst aus auf einmal .
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das richtiger?








?? oder arbeitet mein Kopf heut noch ni -.- #
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es richtig, ja.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre für x2





Dh. x1 ist das Max und x2 das MIN

Richtig?

Grüße
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Soo und nun zu den Y Werten















So und nun komm ich ni weiter...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist das Maximum und ist das Minimum.

Zu den y-Werten.

Du begehst gerne den Fehler, dass du bei der Bruchrechnung Multiplikation/Division mit der Addition verwechselst.

So ist

Des Weiteren solltest du auch daran denken zu erst zu kürzen, denn



Außerdem auch ruhig das f klein schreiben.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann ??

Man man man bin ich schusselig -.-
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.



Diese Schreibweise ist vielleicht weniger fehleranfällig.
Ich habe hier erstmal gekürzt und dann die Doppelbrüche vermieden indem ich es direkt als Multiplikation geschrieben habe.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Also müsste



Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Und wie sieht es mit aus?
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich jetzt









Bitte Bitte lass es diesmal richtig sein =)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Fast.



Rechne das noch einmal nach.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Typischer Fall von Flüchtigkeitsfehler -.-



Somit müsste der Tiefpunkt



Und der Hochpunkt



sein

Right?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du Maximum und Minimum vertauscht, was du oben noch richtig hattest.

Ansonsten passt nun alles. Dann können wir uns nun der Ortskurve widmen.

Was ist die Ortskurve?
Die Ortskurve des zum Beispiel Maximums ist eine Funktion, welche immer durch das lokale Maximum der Funktionsschar geht, also egal was ich für den Parameter a später wähle, meine Ortskurve geht immer durch diesen Punkt.
Dazu habe ich mal ein Bild angefertigt.
Rot ist die Ortskurve des Maximums und grün vom Minimum. Ich hoffe du erkennst, was ich oben versucht habe zu beschreiben.

Wie bestimmt man die Ortskurve?

Das ist eigentlich gar nicht schwer.
Wir wollen zu erst die Ortskurve des Maximums bestimmen.
Das Maximum hat die Punkte



Also die x-Koordinate und die y-Koordinate

Aus diesen Punkten wollen wir nun eine Funktion zusammenbauen und eine Funktion hat ja immer so eine Form



Wir wissen, dass



Hier haben wir einfach x und y-Koordinate genommen.

Was wir nun zu tun haben ist



nach a hin aufzulösen um das dann in die Gleichung



für a einzusetzen.

Dann haben wir wieder etwas der Form y=f(x) und sind fertig.
Jack_D Auf diesen Beitrag antworten »

Wow das ging ja fix =)

Also hab ich das mal gemacht kann es sein das da eine quadratische Funktion bei rum kommt?










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