Integralrechnung

26.02.2014, 23:42

Gastkonto

Integralrechnung

Hi,
brauche hilfe bei dieser Aufgabe.

Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} U=\left\{ (x,y)\in \mathbb R ^2|0\leq y\leq \sqrt{1-x^2} \right\} \end{eqnarray*}$ . Skizzieren Sie U und berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten.

Idee:
x muss zwischen -1 und 1 sein (sonst nicht definiert).

$\begin{eqnarray*} y\leq\sqrt{1-x^2}--> \end{eqnarray*}$ ymax=1

--> $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen ?
Zum zweiten Teil der Aufgabe habe ich nichts.

27.02.2014, 08:47

klarsoweit

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RE: Integralrechnung

Zitat:

Original von Gastkonto
Skizzieren Sie U und berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten.

Mir erscheint der Satz unvollständig. Was soll berechnet werden? Vermutlich die Fläche von U, also $\begin{eqnarray*} \int_U 1 ~dxdy \end{eqnarray*}$ . Wenn du die Skalen in deiner Skizze gleich gehalten hättest, würdest du erkennen, daß es sich um einen Halbkreis handelt. Die Transformation auf Polarkoordinaten kann da das Leben erleichtern. smile

27.02.2014, 15:08

Gastkonto

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Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} U=\left\{ (x,y)\in \mathbb R ^2|0\leq y\leq \sqrt{1-x^2} \right\} \end{eqnarray*}$ . Skizzieren Sie U und berechnen Sie

$\begin{eqnarray*} \int_U \! x*y \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

mit Hilfe von Polarkoordinaten.

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Frage muss es nicht so heißen ?

$\begin{eqnarray*} \int \! \int \! x*y \, dx \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (U) \end{eqnarray*}$

27.02.2014, 15:10

Gastkonto

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Sorry, meinte so.

Frage muss es nicht so heißen ?

$\begin{eqnarray*} \int \! \int \! x*y \, dx \, dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (U) \end{eqnarray*}$

27.02.2014, 15:45

klarsoweit

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Die Schreibweisen $\begin{eqnarray*} \int_U \! x*y \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \int_{(U)} \! \int \! x*y \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ meinen beide das gleiche.
Entscheidender ist die Kenntnis, wie das auf Polarkoordinaten transformiert wird. smile

27.02.2014, 16:13

Gastkonto

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Stimmt das so ?

$\begin{eqnarray*} d=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dU=r\,\,\,\,\, dr \, d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x;y)=xy=(r*cos\phi)*(r*sin\phi)=r^2*sin\phi*cos\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_U \! \int \! xy \, dU \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\phi=0}^\pi \! \int_{r=0}^1 \! r^2*sin\phi*cos\phi \, dU \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\phi=0}^\pi \! \int_{r=0}^1 \! r^3*sin\phi*cos\phi \,\,\, dr \,\,\,d\phi<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$