Ebenenschar: Punkte auf x2x3-Ebene

27.02.2014, 21:19

unddochkeinmathepro

Ebenenschar: Punkte auf x2x3-Ebene

Meine Frage:
Gegeben ist die Ebenenschar 3x1+kx2-kx3=6 und der Punkt P(4/7/-3)
Nun ist die Frage welche Punkte der x2x3-Ebene in keiner Ebene Ek liegen.

Meine Ideen:
Also die x2x3-Ebene hat ja die Gleichung x1=0
Ich hätte jetzt erst mal eine Schnittgerade ausgerechnet, da alle der x Punkte der x2x3-Ebene, die nicht auf dieser liegen nicht in einer Ebene Ek liegen.
Stimmt das überhaupt?

27.02.2014, 21:36

opi

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Punkt P tut bei diesem Aufgabenteil anscheinend nichts zur Sache.
Mit der Schnittgeraden machst Du nichts verkehrt, beachte aber, daß sich bei der Berechnung eine Bedingung für k ergibt.

27.02.2014, 21:42

unddochkeinmathepro

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Die Bedingung ist, dass nicht 0 sein darf.
Ich hab ja ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten?
also:
x1=0
3x1+kx2-kx3=6

darf ich jetzt zwei Parameter frei wählen? nicht oder?

ich darf aber auf jeden Fall eines wählen z.B. x3=1 oder?

27.02.2014, 21:52

opi

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x1=0 $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

Danach darfst Du "frei" wählen, aber nicht ganz so frei. Also nicht $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ , sondern z.B. $\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als Parameter der Geradengleichung. Nun fehlt nur noch $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .
Setze $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 3x_1+kx_2-kx_3=6 \end{eqnarray*}$ ein und löse nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auf.

27.02.2014, 22:01

unddochkeinmathepro

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$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 6/k \\ 0 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist jetzt die Gerade...und wie bekomme ich jetzt aber die Punkte der x2x3 Ebene die nicht in Ek liegen?
und wie rechne ich k aus?
Sorry ich bin voll ratlos!

27.02.2014, 22:14

opi

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Die Geradengleichung ist richtig und enthält alles gesuchten Punkte.
Anders als mit einer Geradengleichung könntest Du diese Anzahl von unendlich vielen Punkten nie aufschreiben, das würde zu lange dauern. Augenzwinkern

Warum willst Du k berechnen? Die Gleichung gilt für alle $\begin{eqnarray*} k \neq 0. \end{eqnarray*}$

27.02.2014, 23:24

Tesserakt

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Weshalb eigentlich so kompliziert?

$\begin{eqnarray*} E_k: 3x_1 + kx_2 - kx_3 = 6 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Jeder Punkt in der $\begin{eqnarray*} x_2x_3 \end{eqnarray*}$ -Ebene ist von der Form $\begin{eqnarray*} (0,y,z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y,z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Existiert nun ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (0,y,z) \in E_k \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} ky - kz = 6 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} k = \frac{6}{y - z} \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} y \neq z \end{eqnarray*}$ impliziert. Ist umgekehrt $\begin{eqnarray*} y \neq z \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, so sieht man leicht die Existenz eines $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (0,y,z) \in E_k \end{eqnarray*}$ ein.

Also gilt $\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb R: (0,y,z) \in E_k \Leftrightarrow y \neq z \end{eqnarray*}$ .

Im Umkehrschluss also $\begin{eqnarray*} \forall k \in \mathbb R: (0,y,z) \not \in E_k \Leftrightarrow y = z \end{eqnarray*}$ .

Oder verstehe ich etwas falsch??

28.02.2014, 01:11

opi

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Zitat:

Original von Tesserakt
Weshalb eigentlich so kompliziert?

@Tesserakt:
Hältst Du Deine Variante für einen Schüler wirklich für einfacher?
Da fehlen mir fast die Worte...

28.02.2014, 01:22

Tesserakt

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Da ich selbst Schüler bin schon.

Immerhin umgeht man damit die geometrische Anschauung des Problems.

28.02.2014, 01:31

opi

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Abgesehen davon, daß ich geometrische Anschauungen nicht umgehe, sondern begrüße: unddochkeinmathepro muß nun wohl selbst entscheiden, was ihm hilfreich ist. smile

28.02.2014, 01:46

Tesserakt

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Dagegen habe ich nichts einzuwenden.

Aber viel weniger „kompliziert“ als meine Lösung ist die geometrische Variante auch nicht. Immerhin muss nun abschließend noch nachgewiesen werden, dass die Menge von Punkten, die durch die Geradenschar definiert wird, eben genau all jene Punkte der $\begin{eqnarray*} x_2x_3 \end{eqnarray*}$ -Ebene enthält, deren $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate ungleich der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Koordinate ist, sodass also eben die Punkte der $\begin{eqnarray*} x_2x_3 \end{eqnarray*}$ -Ebene, deren $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Koordinate gleich ist von keiner der Ebenen getroffen wird.
Die bloße Angabe der Geradenschar würde wohl kaum in einer Klausur eine volle Punktzahl garantieren, da Endergebnisse stets größtmöglichst vereinfacht darzustellen sind.

28.02.2014, 20:04

opi

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Zitat:

Original von opi
Da fehlen mir fast die Worte...

Ich habe die Worte wiedergefunden und bitte Dich um Entschuldigung. Du hast völlig recht.
Ich habe irgendwann die Aufgabenstellung "Punkte, die in keiner Ebene Ek liegen" aus den Augen verloren. unglücklich

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