Induktion beweisen

03.03.2014, 19:52

HerbertB

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Induktion beweisen

Hallo,

ich habe folgende Angabe, und die soll ich durch vollständige Induktion beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{n+2}{2^n} \end{eqnarray*}$

Mein Vorgehen bisher:

Induktionsanfang: n=1

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^1 \frac{1}{2^1} = 2 - \frac{1+2}{2^1} \end{eqnarray*}$

das ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also ist der Induktionsanfang bewiesen.

Induktionsschritt:

Induktionsannahme: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{n+2}{2^n} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Mein Vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} + \frac{n+1}{2^{n+1}} = 2 - \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Den Quantor wiederum erstze ich durch die Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} + \frac{n+1}{2^{n+1}} = 2 - \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Habe ich soweit alles richtig gemacht? Wie schließe ich die Induktion ab?

Danke!

03.03.2014, 19:57

Helferlein

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Zwei Fehler sind drin:

1) Ist das ein Summenzeichen und kein Quantor

2) Hast Du die Induktionsannahme mit falschem Index eingesetzt.

3) Nicht unbedingt falsch, aber immer wieder unschön: Schreib nicht beide Seiten hin, sondern nur die Linke und arbeite Dich durch Umformung des Terms nach rechts durch.

03.03.2014, 20:31

Anaconda55

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Zitat:

Habe ich soweit alles richtig gemacht? Wie schließe ich die Induktion ab?

Soweit richtig.
Abgeschlossen wird die Induktion indem du dazu schreibst, dass daraus folgt, dass die Behauptung für alle n aus N gilt.

Also z.B. mit dem Schlusssatz: Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt, dass die Behauptung für alle n aus N gilt.

Ich kenne es so, dass der Induktionsbeweis so gegliedert wird:

1. Induktionsanfang
2. Induktionsannahme/Induktionsvoraussetzung
3. Induktionsschritt

03.03.2014, 20:59

HerbertB

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Erst einmal danke für die Antworten.

@Helferlein

Wie meinst du das bei 2)? Wo habe ich da was falsch eingesetzt?

Ok, also nur die linke Seite und dann umformen.

03.03.2014, 21:08

Helferlein

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Schau Dir die Induktionsannahme an und was Du in der letzten Gleichung auf der linken Seite ersetzt hast.

03.03.2014, 21:13

HerbertB

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Ah ok, jetzt hab ich es gesehen, danke.

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{n+2}{2^{n}} + \frac{n+1}{2^{n+1}} = 2 - \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die Gleichung richtig gestellt.

Im nächsten Schritt nehme ich also nur die linke Seite:

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{n+2}{2^{n}} + \frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Ich steh gerade etwas neben der Spur, was mache ich jetzt damit, bzw. wie forme ich das jetzt um? (Wenns geht, bitte mit Beispiel, damit ich mir das besser vorstellen kann)

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03.03.2014, 21:18

Helferlein

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erweitere den mittleren Bruch und fasse mit dem rechten zusammen.

03.03.2014, 21:25

HerbertB

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Ähhhm, das ist mir jetzt sehr peinlich... aber wie mache ich das? Ich hab schon länger nichts mehr mit Brüchen gemacht. Hilfe

Hilfe

03.03.2014, 21:39

Helferlein

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Zähler und Nenner mit derselben Zahl (hier 2) multiplizieren.

03.03.2014, 21:42

HerbertB

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Danke, dann ergibt das folgendes:

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{2n+4}{2^{n+1}} + \frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst ergibt das

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{3n+5}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

03.03.2014, 21:46

Helferlein

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Nicht ganz. Beachte die Vorzeichen der Brüche.

03.03.2014, 21:50

HerbertB

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Ah, jetzt hab ichs, danke. Der Tag war einfach schon zu lange... Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{n+3}{2^{n+1}} = 2 - \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt den rechten Teil der Gleichung ausrechne, dann ergibt das

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{n+3}{2^{n+1}} = 2 - \frac{n+3}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

03.03.2014, 22:14

Helferlein

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RE: Induktion beweisen
Genau Freude

Freude

Und nun das ganze am besten noch so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i} =\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} + \frac{n+1}{2^{n+1}} = ... = 2 - \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

04.03.2014, 10:46

HerbertB

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Danke für die Hilfe.

Kann man das Thema irgendwie als "gelöst" kennzeichnen?

04.03.2014, 16:36

Helferlein

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Nein, ist aber auch nicht nötig, denn die Frage bleibt offen, falls andere sich später noch einmal damit befassen und weitere Nachfragen haben.

04.03.2014, 16:39

HerbertB

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Schon klar das die Frage offen bleibt, ich hätte nur geglaubt das man den Thread-Titel irgendwie anpassen kann, damit man beim Suchen gleich sieht, das die Frage gelöst wurde.

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