Nichtabelsche Gruppe der Ordnung 155

04.03.2014, 13:48

Der Lustige Peter

Nichtabelsche Gruppe der Ordnung 155

Liebes Matheboard,

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Zitat:

Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie nur eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 155 gibt

Ich habe mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} | G | = 155 = 31*5 \end{eqnarray*}$
Nach den Sylowsätzen gibt es jetzt zwei Möglichkeiten:
1. Betrachte die 31-Sylowgruppe
Sei $\begin{eqnarray*} s_{31} \end{eqnarray*}$ die Anzahl der 31-Sylowgruppen
$\begin{eqnarray*} s_{31} = 1 mod 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{31} | 5 \end{eqnarray*}$
folglich gilt: $\begin{eqnarray*} s_{31} = 1 \end{eqnarray*}$

2. Betrachte die 5-Sylowgruppe
Sei $\begin{eqnarray*} s_{5} \end{eqnarray*}$ die Anzahl der 5-Sylowgruppen
$\begin{eqnarray*} s_{5}= 1 mod 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_{5} | 31 \end{eqnarray*}$
folglich gilt: $\begin{eqnarray*} s_{5} = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s_{5} = 31 \end{eqnarray*}$

gilt $\begin{eqnarray*} s_{5} = 1 \end{eqnarray*}$ wird G von den beiden Sylowgruppen erzeugt und ist folglich abelsch.

Es muss also $\begin{eqnarray*} s_{5} = 31 \end{eqnarray*}$ gelten.

Jetzt sind noch zwei Dinge zu zeigen:
1. Im gerade erarbeiteten Fall ist G nicht abelsch.
2. G ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Kann mir jemand Hinweise geben, wie ich das anstelle? Ich wäre wirklich dankbar.

Viele Grüße
Peter

05.03.2014, 18:35

Jack Prince

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Hey lustiger Peter.

Angenommen, die Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist nicht abelsch. Dann ist die 5 Sylow-Gruppe $\begin{eqnarray*} P_5 \end{eqnarray*}$ kein Normalteiler. Da aber immer die 31-Sylow-Gruppe $\begin{eqnarray*} P_{31} \end{eqnarray*}$ immer normal in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegt und wir trivialerweise $\begin{eqnarray*} P_5P_{31}=G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_5\cap P_{31}=\{1\} \end{eqnarray*}$ folgt hier sofort, dass $\begin{eqnarray*} G \cong P_{31} \rtimes_\kappa P_5 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \kappa \colon P_5 \longrightarrow Aut(P_{31}) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \kappa(g)(x):=gxg^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Also ist im nicht abelschen Fall $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ das semi-direkte Produkt seiner Sylow-Gruppen bezüglich der Konjugationsabbildung.

Jedoch bleibt noch die Frage, warum existiert eine solche Gruppe, die ich auch momentan nicht beantworten kann.

LG

05.03.2014, 19:44

jester.

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Zitat:

Original von Jack Prince
Jedoch bleibt noch die Frage, warum existiert eine solche Gruppe, die ich auch momentan nicht beantworten kann.

Na ja, du hast die Konstruktion fast schon hingeschrieben. Nimm $\begin{eqnarray*} N:=\langle n \rangle \cong C_{31} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U:=\langle u \rangle \cong C_5 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{Aut}(N)\cong C_{30} =: \langle \varphi\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u\mapsto \varphi ^6 \end{eqnarray*}$ ist ein nichttrivialer Morphismus $\begin{eqnarray*} U\to \mathrm{Aut}(N) \end{eqnarray*}$ , sodass das semidirekte Produkt von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , das wir damit konstruiert haben, nichttrivial ist, also kein direktes Produkt ist.

Viel interessanter (bzw. wichtiger) ist aber die folgende Frage, über die man sich noch Gedanken machen muss: Wir haben bisher gezeigt, dass eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 155 ein (nichttriviales - da die Gruppe sonst abelsch ist) semidirektes Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung 31 mit einer zyklischen Gruppe der Ordnung 5 ist. Außerdem habe ich eine solche Gruppe konstruiert. Warum gibt es nicht mehr solcher Gruppen. Dazu sollte man die Konstruktion genauer anshen und andere Möglichkeiten für die Wahl des Morphismus in Betracht ziehen und mit der konstruierten Gruppe vergleichen. Augenzwinkern

05.03.2014, 20:30

Jack Prince

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Hey Jester,

warum folgt aus $\begin{eqnarray*} N \rtimes_\varphi U \cong N \times U \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der triviale Homomorphismus ist?.

Wenn jedoch jede nichtabelsche Gruppe der Ordnung 155 isomorph zu $\begin{eqnarray*} P_{31} \rtimes_\kappa P_5 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ die genannte Abbildung ist, dann sind doch trivialerweise all diese Gruppen zueinander isomorph; sie haben doch komplett die selbe Struktur. Oder seh ich da was falsch?

LG

05.03.2014, 22:46

jester.

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$\begin{eqnarray*} N\rtimes_\varphi U \end{eqnarray*}$ ist genau dann abelsch, wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abelsch sind, und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nichttrivial ist. Das ist leicht zu beweisen.
Jedoch folgt nicht aus $\begin{eqnarray*} N\rtimes_\varphi U \cong N\times U \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ trivial ist. Dazu findet man Beispiele mit Google.

Hier wird sich herausstellen, dass es bis auf Isomorphie nur ein semidirektes Produkt von $\begin{eqnarray*} C_{31} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ gibt. Allgemein ist das falsch, und nach (kurzem!) Überfliegen glaube ich, dass du in diesem PDF ein Gegenbeispiel finden kannst: http://drorbn.net/images/d/d3/Group_84.pdf

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