Dreiseitige Pyramide

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Dreiseitige Pyramide
Meine Frage:
Die drei linear unabhängigen Vektoren Vektor a, Vektor b und Vektor c spannen eine dreiseitige Pyramide ABCD auf. SD sei der Schwerpunkt des Dreiecks ABC, SA sei der Schwerpunkt des Dreiecks BCD.

Weisen sie nach:
a) Die Strecken A Sa und D Sd schneiden sich in einem Punkt S.
b) Der Punkt S teilt beide Strecken im Verhältnis 3:1.

Meine Ideen:
So. Meine Basisvektoren sind schon angegeben: Vektor a= Vektor von AB, Vektor b= Vektor von AC, Vektor c=Vektor von AD. Schwerelinien haben immer das Verhältnis 2:1. Aber der konkrete Ansatz zur Beantwortung der Frage a) fehlt. Wie kann ich denn das nachweisen? Aufgabe b) dürfte dann das übliche Vorgehen sein.
Geschlossene Vektorkette: Nullvektor= Vektor AS + Vektor SD + Vektor DA
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde erst mal eine Koordinatentransformation machen:

Punkt A wird zum Koordinatenursprung. Und eine Neubezeichnung. Dann sind die Vektoren a,b,c Ortsvektoren zu den Punkten A B C .

Das vereinfacht die Rechnung deutlich.

a.) lautet : die Verbindungslinie zweier Eckpunkte mit den jeweiligen Schwerpunkten nicht anliegender Dreiecken schneiden sich in S.

wenn du das durchrechnest, ergibt sich b.) von alleine.

welche Bedeutung hat der Punkt S ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn das Folgende jetzt sicher nicht die von dir erwartete Lösung ist, möchte ich es doch ein für allemal aufschreiben, um den tieferen Zusammenhang bei Schwerpunkten herauszustellen. Ich finde diesen Zugang viel einfacher als irgendwelche Rechnungen in Koordinatensystemen. Und man erkennt viel mehr und Tiefliegenderes.

Hat man drei Punkte und einen weiteren Punkt (das braucht nicht der Ursprung zu sein), dann kann man durch



eindeutig einen Punkt definieren. Das Interessante ist nun, daß, wenn man die Konstruktion mit einem anderen Punkt durchführt, also



man denselben Punkt erhält. Um das zu sehen, addiert man in der letzten Gleichung auf beiden Seiten den Vektor , wobei man ihn auf der rechten Seite zu je einem Drittel zu einem der drei Vektoren zieht. Man bekommt so:





Und nach der ersten Gleichung heißt das:

also .

Die Konstruktion des Punktes der ersten Gleichung ist also nur von den Punkten , nicht jedoch von abhängig. Egal, wie man wählt, man kommt immer zum selben Punkt .

Man kann das auf Punkte verallgemeinern. Der Beweis verläuft völlig analog. Man erhält so den folgenden Satz:







Man nennt den Schwerpunkt der Punkte .

Im Fall mit statt kann man über weiteres Interessantes herausfinden. Da beliebig sein darf, kann man speziell (Mittelpunkt der Seite ) nehmen:



Und diese Gleichung zeigt: liegt auf der Seitenhalbierenden , und zwar am Ende des ersten Drittels, wenn man von aus schaut. Da man Entsprechendes auch für und machen kann, folgt: Alle Seitenhalbierenden gehen durch . Der Punkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 1:2, wobei das kürzere Stück zur Dreiecksseite hin liegt. Das ist der berühmte Satz über die Seitenhalbierenden eines Dreiecks.

Man kann nachträglich auch speziell wählen. Dann bekommt man



also



Physiker können diese Gleichung als Beziehung von Kräften interpretieren.
Und wenn man für speziell den Ursprung eines Koordinatensystems wählt, so ist eine Beziehung zwischen Ortsvektoren und erlaubt die Berechnung der Koordinaten von .

Jetzt kommen wir zu deinem Problem mit den Punkten . Wir definieren den Punkt jetzt neu durch



und bemerken noch einmal ausdrücklich, daß die Sache nicht von der Wahl von abhängt. Wir dürfen also speziell (wie bei dir festgelegt) wählen:



Und diese Gleichung und die entsprechenden Gleichungen für beweisen sowohl a) als auch b) und sogar noch etwas mehr.
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