Die Menge der Unendlichen Zahlen

06.03.2014, 11:06

NIS

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Die Menge der Unendlichen Zahlen

Meine Frage:
Die Menge der Unendlichen Zahlen (inklusive der Null) ist eine kommutative Gruppe mit Einselement, also ein Körper, so meine Erkenntnis aus einem Versuch die Division durch Null zu erklären.

Gibt es mehr als eine Unendlichkeit nämlich unendlich viele Unendlichkeiten?

Und kann man die Menge der Komplexen Zahlen in die Unendlichkeit durch eine Division durch Null hinein projizieren und durch eine Multiplikation dieser Unendlichen Zahlen mit Null wieder zurück zum ihrem Ursprung transformieren?

Meine Ideen:
Siehe folgenden Link:
Die Menge der Unendlichen Zahlen

Dies ist ein Versuch die Unendlichkeit nicht nur als Grenzwert anzusehen, sondern sie aufzubrechen und mit konkreten Zahlen in der Unendlichkeit zu rechnen.

06.03.2014, 11:12

Che Netzer

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RE: Die Menge der Unendlichen Zahlen
Werbung für ein unbrauchbares Dokument...
Zu den üblichen Fehlern oder Unachtsamkeiten sage ich gar nichts erst. Ein kommutativer Ring mit Eins ist aber übrigens kein Körper.

06.03.2014, 11:57

NIS

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RE: Die Menge der Unendlichen Zahlen
Es ist eine ernst gemeinte Fragestellung!

Ist die Unendlichkeit ein Punkt oder gibt es eine Menge von unendlich vielen Unendlichkeiten, in die sich die Komplexen Zahlen hinein projizieren lassen, ohne ihre Wertigkeit zu verlieren?

Ich bin kein Mathematiker sondern Informatiker, insofern bitte ich formale Fehler zu entschuldigen.

06.03.2014, 18:12

Che Netzer

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Was verstehst du denn unter "Unendlichkeit"?

Vielleicht könnte dich dieser Artikel interessieren. Aber auch in $\begin{eqnarray*} \hat{\mathbb C} \end{eqnarray*}$ ist etwas wie $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Wozu sollte man das auch haben wollen?

07.03.2014, 14:45

NIS

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Hallo,
unter Unendlich verstehe ich eine Unbekannte $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , deren Wert nicht definierbar ist, aber man kann mit ihr, der Unbekannten rechnen, so als wäre es eine Unbekannte mit einem reellen Wert, was sie aber nicht ist.

Analog zu dem Imaginären Teil $\begin{eqnarray*} i^{2}=-1 \end{eqnarray*}$ bei den Komplexen Zahlen.

Komplexe Zahl
$\begin{eqnarray*} z=2i+3 \end{eqnarray*}$

Unendliche Zahl
$\begin{eqnarray*} n= 2\infty +3 \end{eqnarray*}$

07.03.2014, 15:28

Leopold

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Es gibt keine Möglichkeit, die reellen Zahlen durch ein "unendlich" zu ergänzen, so daß die mit "unendlich" verbundene Vorstellung der Anordnung (daß also "unendlich" größer als jede positive Zahl ist) realisiert wird und gleichzeitig die Körpergesetze erhalten bleiben.

Dessen ungeachtet kann man $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ so erweitern, daß die topologische Vorstellung, also die oben besprochene Anordnung, umgesetzt wird. Dann kann man aber die Körpergesetze nicht erhalten. Man wird beispielsweise die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \infty + \infty = \infty \end{eqnarray*}$

für sinnvoll halten. Besäße jetzt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ in jenem $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ ein additives Inverses, so könnte man dies auf beiden Seiten addieren und erhielte:

$\begin{eqnarray*} \infty = 0 \end{eqnarray*}$

Na ja - und das will man ja gerade nicht haben. Schließlich soll ja "unendlich" ganz ganz ganz weit rechts liegen.

Es geht also nicht.

Auf der anderen Seite lassen sich die reellen Zahlen durch unendlich kleine Zahlen und unendlich große Zahlen zu den sogenannten Nichtstandard-Zahlen $\begin{eqnarray*} {}^{*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ergänzen, so daß die Körpergesetze weitergelten. Aber das ist dann schon eine komplexere Konstruktion und nicht nur ein $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , was man einfach mal so dazustellt.

Das Rechnen mit einer Unbestimmten $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ führt auf den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}(X) \end{eqnarray*}$ der rationalen Funktionen über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . In der Algebra bezeichnet man das als einfache transzendente Erweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Man könnte hier $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als so eine Art $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ansehen. Jedoch sind die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}(X) \end{eqnarray*}$ nicht nur Ausdrücke der Gestalt

$\begin{eqnarray*} a + bX \ \ \text{mit} \ \ a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

sondern rationale Ausdrücke, etwa in der Gestalt eines Quotienten zweier Polynome

$\begin{eqnarray*} \frac{a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \ldots + a_n X^n}{b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \ldots + b_m X^m} \end{eqnarray*}$

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07.03.2014, 15:31

weisbrot

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vielleicht interessiert dich ordinalzahlarithmetik. hier gibt es unendliche zahlen, und ausdrücke der form $\begin{eqnarray*} \infty 5 + 3 \end{eqnarray*}$ machen sinn.
lg

07.03.2014, 15:35

Leopold

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Zitat:

Original von weisbrot
vielleicht interessiert dich ordinalzahlarithmetik. hier gibt es unendliche zahlen, und ausdrücke der form $\begin{eqnarray*} \infty 5 + 3 \end{eqnarray*}$ machen sinn.
lg

Das wäre dann eine weitere Möglichkeit. Dieses Mal werden die unendlichen Zahlen aus der Sicht des Zählens und Ordnens im Sinn der Mengenlehre eingeführt. Aber das ist dann wiederum keine Erweiterung der Körperstruktur $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

07.03.2014, 16:06

NIS

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Kann man nicht festlegen für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < \infty <2\infty <3\infty <n\infty , n->\infty \end{eqnarray*}$

Und zum Bespiel:
$\begin{eqnarray*} 2\infty +100 < 3\infty -200 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 3\infty +5\infty =8\infty <10\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5\infty -2\infty+100 =3\infty+100<4\infty \end{eqnarray*}$

usw.

07.03.2014, 16:20

weisbrot

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ja, so ähnlich, siehe meinen link. man kann so aber wie schon gesagt keine subtraktion/division auf sinnvolle weise definieren.
lg

07.03.2014, 16:34

NIS

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Klar kann man auch Subtrahieren und Dividieren:

$\begin{eqnarray*} <br /> x\infty - y\infty =z\infty <br /> <br /> 2\infty -3\infty =-\infty <br /> <br /> \frac{2\infty}{4\infty}+1 =\frac{1\infty}{2\infty}+1<br /> <br /> \infty - \infty =0 \end{eqnarray*}$

07.03.2014, 16:49

weisbrot

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also, wozu bist du hier? um deine eigenen wilden theorien umherzuwerfen und jegliche form von kritik von dir abprallen zu lassen? ja sicher kannst du irgendwelchen quatsch definieren wie du willst, wie aber schon vielfach bemerkt steht das zu elementaren rechenregeln wie assoziativität im widerspruch.
gehe doch bitte auf gemachte antworten ein, ansonsten brauchst du keine weitere hilfe erwarten.
lg

07.03.2014, 18:04

NIS

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Hi,
mich beschäftigt die Frage, ob man sinnvoll eine Division durch Null anhand von unendlichen Zahlen definieren kann. Deine Kommentare sind der Impuls für neu Ideen und Postings gewesen. Ich weiss natürlich nicht, was bei diesen Gedankengängen herauskommt, aber ich glaube eine Möglichkeit gefunden zu haben mit der Unendlichkeit praktisch und nicht nur theoretisch zu rechnen.

Wie stufst Du das Statement von mir ein, $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} =n, n\in \bigcup \end{eqnarray*}$
n ist hierbei eine Unbekannte, die Alles ist:
$\begin{eqnarray*} <br /> a= \frac{0}{0} =n<br /> b= \frac{0}{0} =n<br /> a = n = b, a\neq b<br /> \end{eqnarray*}$

n ist Alles in U

07.03.2014, 18:11

weisbrot

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du denkst dabei an NaN.
die kann aber nicht "alles sein", das führt sofort zum widerspruch 0 = NaN = 1. stattdessen kannst du die einfach als primitives symbol dazutun, so wie unendlich. dann lässt sich die menge aber nicht mehr ordnen.
lg

08.03.2014, 14:54

NIS

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Kann man nicht die Unbekannte n = 0/0 einführen mit

n = Alle Zahlen im Universum U, so dass nur für n gilt:

$\begin{eqnarray*} x = n = y, x\neq y \end{eqnarray*}$

n ist Alles!

Eine solche Unbekannt mit o.g. Eigenschaft fehlt noch in der Mathematik.

08.03.2014, 15:10

Iorek

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Also wäre dann $\begin{eqnarray*} n=1=2=\dots=-1=-2=\dots=\frac 12=\frac 13=\frac 14=\dots=-\frac 12=\dots=\frac 32=\frac 23=\dots=\sqrt{2}=-\sqrt{2}=e=\pi=i \end{eqnarray*}$ (und damit hab ich noch nichtmal einen Bruchteil der Zahlen abgedeckt, die mir einfallen) und jede dieser Zahlen sollte dann natürlich noch $\begin{eqnarray*} 1\neq 2,1\neq 3,\dots \end{eqnarray*}$ erfüllen?

Ansonsten haben weisbrot und Che Netzer schon alles soweit notwendige gesagt. Du kannst dir natürlich irgendwelchen Kram definieren wenn es dir Spaß macht, Rechnen im üblichen Sinn unter Beibehaltung der anderen Eigenschaften (Kommutativ, Assoziativ, idealerweise eine Gleichheitsrelation die auch wirklich transitiv ist) wirst du damit nicht können.

08.03.2014, 16:45

NIS

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n kann an einer beliebigen Stelle im Zahlenstrahl von R einfügen, was aber nicht bedeutet, dass alle anderen Zahlen in R gleich wären!
$\begin{eqnarray*} <br /> -\infty \neq -2\neq -1\neq 0\neq 1 = n = 2 \neq 3\neq 4\neq \infty <br /> \end{eqnarray*}$

Kann man nicht n als vollkommen neues Element ansehen mit folgenden Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} <br /> n=0/0<br /> <br /> a=n=b, a\neq b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> n*x = n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> n+x = n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$

n könnte man als Neutrale Unbekannte sehen, die bei der Multiplikation Eigenschaften der Null hat und bei Addition die Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ hat.
$\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} n=a \wedge n=b\wedge a\neq b \end{eqnarray*}$

08.03.2014, 17:15

Iorek

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Zitat:

Original von NIS
Kann man nicht n als vollkommen neues Element ansehen mit folgenden Eigenschaften:
[...]

Das kannst du natürlich machen, hindern wird dich daran keiner. Aber so ein Konstrukt nimmt auch keiner ernst. Die Probleme die bei deinen Konstruktionen auftreten wurden dir jetzt schon mehrfach genannt, darauf eingegangen bist du in keinem deiner Posts.

Der Thread wird an dieser Stelle geschlossen. Beschwerden können gerne per PN an mich gerichtet werden.

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