Quadratische Gleichungen in p-adischen Zahlen

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Gleichungen in p-adischen Zahlen
Hallo zusammen.

Ich habe eine kleine Verständnisfrage zum Lösen quadratischer Gleichungen in den p-adischen Zahlen.

Hat man eine Gleichung der Form , so kann man ja ganz einfach mit dem Hilbert-Symbol ausrechnen, ob eine nicht-triviale Lösung in vorliegt.

Wenn ich allerdings jetzt so eine Aufgabe habe, z.B.

, also ohne , kann ich dann genauso verfahren? Ich hätte mir da auf der rechten Seite einfach noch ein dazugedacht, die ganze Gleichung durch 3 geteilt und dann ganz normal das Hilbertsymbol ausgerechnet. Beispielsweise habe ich so ermittelt, dass die Gleichung in keine nicht-triviale Lösung besitzt, da
.
Kann ich das so machen?

Ich kann ja prinzipiell die allgemeine quadratische Gleichung durch z teilen und hätte dann eben nicht als Lösung, sondern das Tripel .

Bei der Aufgabe (wieder in ) bin ich dann analog vorgegangen, war aber unsicher, da . Jedoch kam ich sowohl bei Teilung durch 5 als auch durch 45 zum Ergebnis, dass die Gleichung eine nicht-triviale Lösung besitzt (Wobei ich da auch leider keine Idee habe, wie man eine dieser Lösungen konkret angeben könnte)

Vielleicht kann mir ja jemand von euch ein bisschen Licht ins Dunkel bringen. Diese p-adischen Zahlen und ich werden glaube ich in diesem Leben keine Freunde mehr...^^

Vielen Dank schonmal! smile
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