Bienenvolk: Wachstum und Abnahme

07.03.2014, 19:15

Bonheur

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Bienenvolk: Wachstum und Abnahme

Da ich am Montag eine Klausur schreibe und ich unbedingt die volle Punktzahl erreichen möchte, muss ich unbedingt schauen, ob ich die Aufgaben lösen kann. smile

smile

Der Bestand eines Bienenvolkes wird durch die Funktion $\begin{eqnarray*} N(t)=a+be^{-k \cdot t} \end{eqnarray*}$ erfasst.
t ist die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und N(t) die Anzahl der Individuen in Tausend. Anfang Mai hat das Bienenvolk einen Anfangsbestand von 5000 Bienen. Eine Woche später sind es schon 24440. Der Grenzbestand liegt erfahrungsgemäß bei ca. 80000 Bienen.

a) Bestimmen Sie die Gleichung von N.
b) Nach welche Zeit hat der Anfangsbestand sich verachtfacht?
c) Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in 1000 Individuen pro Woche) zu Beginn des Wachstumsprozesses bzw. nach 12 Wochen?
d) Als das Bienenvolk einen Bestand von 40000 Bienen erreicht hat, wird es von einer Krankheit befallen. Die Anzahl der Bienen nimmt nun rein exponentiell ab und ist schon nach einem Tag auf 35000 Bienen gesunden. Zeichnen Sie den weiteren Verlauf in die Graphik.

Idee:

Erstmal zur:
Aufgabe a)

$\begin{eqnarray*} Gegeben: \, \, N(t)~~;N(0)=3000~~;N(1)=24440~~\lim_{x \to \infty}N(t)=80000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gesucht: \, \, \{a,b,k\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ansatz: \, \, \lim_{x \to \infty}N(t)=80000 \\ N(0)=3000 \\ N(1)=24440 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Loesung: \, \, \lim_{x \to \infty}a+\underbrace{be^{-k \cdot t}}_0=80000 \to a=80000 \\ N(0)=80000+b=3000 \to b=-77000 \\ N(1)=80000 -77000 \cdot e^{k}=24440 ~|-80000 \\N(1)=-77000 \cdot e^{k}=-55560 \\k=ln\left(\frac{1389}{1925}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Antwort: \, \, \text{Die Bestandsfunktion lautet:} N(t)=80000 -77000 \cdot e^{-0,326342 \cdot t} \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank

07.03.2014, 19:44

Dopap

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im wesentlichen richtig !

Nur nicht alle Lehrer geben dir hier volle Punktzahl:

Grund 1 : der Anfangsbestand ist 5 Tausend
Grund 2 : Es sollte in Tausendereinheiten gerechnet werden.

07.03.2014, 19:49

Bonheur

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Vielen Dank erstmal smile

smile

Verstehe. Wenn da N(t) in Tausend steht, dann muss ich immer mit kleinen Zahlen arbeiten oder?

Ojee unglücklich

unglücklich

Warum habe ich mit 3000 gearbeitet und nicht mit 5000. unglücklich

unglücklich

Solche Fehler dürfen mir in der Klausur nicht passieren.

07.03.2014, 19:50

tigerbine

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RE: Bienenvolk:Exponentialfunktion

Zitat:

Original von Bonheur

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}N(t)=80000 \end{eqnarray*}$

Warum x -> oo und nicht t -> oo?

07.03.2014, 19:54

Dopap

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ja, schon in Ordnung ! bei mir hättest du trotzdem ausreichend Punkte bekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also , korrigieren und an den Limes denken, dann geht es weiter...

07.03.2014, 20:09

Bonheur

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Vielen Dank für die Aufmunterung smile

smile

Verbesserte Version: smile

smile

$\begin{eqnarray*} Gegeben: \, \, N(t)~~;N(0)=5~~;N(1)=24,440~~\lim_{t \to \infty}N(t)=80 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gesucht: \, \, \{a,b,k\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ansatz: \, \, \lim_{t \to \infty}N(t)=80 \\ N(0)=5 \\ N(1)=24,440 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Loesung: \, \, \lim_{t \to \infty}a+\underbrace{be^{-k \cdot t}}_0=80 \to a=80 \\ N(0)=80+b=5 \to b=-75 \\ N(1)=80 -75 \cdot e^{k}=24,440 ~|-80\\N(1)=-75 \cdot e^{k}=-55,56 \\k=ln\left(\frac{-55,56}{-75}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Antwort: \, \, \text{Die Bestandsfunktion lautet:} N(t)=80 -75 \cdot e^{-0,300025 \cdot t} \end{eqnarray*}$ .

zu b)

$\begin{eqnarray*} Gegeben: \, \, N(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gesucht: \, \, t_{\text{Anfangsbestand verachtfacht}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ansatz: \, \, N(t)= 8 \cdot 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Loesung: N(t)=80 -75 \cdot e^{-0,300025 \cdot t}=40 \\ -75 \cdot e^{ -0,300025 \cdot t}=-40 \\-0,300025 \cdot t=ln\left(\frac{8}{15}\right) \to t=2,09519 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Antwort: ~ \text{Nach 2,095 Wochen wird der Anfangsbestand verachtfacht.} \end{eqnarray*}$

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07.03.2014, 20:22

Dopap

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ja, das geht voll in Ordnung.

An den Zahlenwerten kann man erkennen, das k=0.3 der gerundete Sinn ist.

In Schulmathe wäre das weiterrechnen mit diesem Wert auch in Ordnung!

07.03.2014, 20:26

tigerbine

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Von mir auch viel Erfolg für die Klausur. Mach dich nicht so verrückt, dann passieren auch keine Leichtsinnsfehler. Wink

Wink

07.03.2014, 20:43

Bonheur

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Vielen Dank euch beiden. smile

smile

zu c)

$\begin{eqnarray*} Gegeben: \, \, N(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gesucht: \, \, m_1 \, \text{bei} \, 0 \, \text{Wochen} \, \, \text{und} \, \, m_2 \, \text{bei} \, 12 \, \text{Wochen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ansatz:N'(0) \\N'(12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Loesung: N'(t)=22,5019 \cdot e^{-0,300025 \cdot t} \\ N'(0)=22,5019 \\N'(12)=0,614651 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Antwort: \text{Die Steigung bei null beträgt 22,5019 Individuen pro Woche und nach 12 Wochen beträgt die Steigung 0,61451 Individuen pro Woche.} \end{eqnarray*}$

07.03.2014, 20:50

Dopap

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Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} Loesung: N'(t)=22,5019 \cdot e^{-0,300025 \cdot t} \\ N'(0)=22,5019 \\N'(12)=0,614651 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Antwort: \text{Die Steigung bei null beträgt 22,5019 Individuen pro Woche und nach 12 Wochen beträgt die Steigung 0,61451 Individuen pro Woche.} \end{eqnarray*}$

du solltest bei Text das Latex beenden.
Also:
Antwort: Die Steigung bei null beträgt 22,5019 Individuen pro Woche und nach 12 Wochen beträgt die Steigung 0,61451 Individuen pro Woche.

und: immer an die Tausend denken !!

07.03.2014, 20:55

Bonheur

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Okay.

smile

Antwort: Die Steigung bei null beträgt 22,5019 Individuen pro Woche und nach 12 Wochen beträgt die Steigung 0,61451 Individuen pro Woche.

Ich habe noch eine Information und zwar steht da (gemessen in 1000 Individuen pro Woche).

Muss ich damit noch etwas machen ?

07.03.2014, 21:12

Dopap

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das ist ja gerade das was ich angesprochen habe:

Zitat:

Antwort: Die Steigung bei null beträgt 22,5019 Individuen pro Woche und nach 12 Wochen beträgt die Steigung 0,61451 Individuen pro Woche.

Von Anfang an geht es um Tausend. Also:

Antwort: Die Steigung bei null beträgt 22,5 Tausend Individuen pro Woche und nach 12 Wochen beträgt die Steigung 0,615 Tausend Individuen pro Woche.

Statt Steigung pro Woche kannst du auch von "Zunahme je Woche" verwenden.

07.03.2014, 21:25

Bonheur

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Verstehe.

smile

Leider bin ich mir bei der letzten Aufgabe relativ unsicher. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{40}{100 %}=\frac{35}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \cdot 40=35 \cdot 100 % \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{35 \cdot 100 %}{40}=87,5 % \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 100%-87,5%=12,5% \end{eqnarray*}$

-----> $\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot q^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot 0,875^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=a \cdot 0,875^{0}=40 \to a=40 \to f(x)=40 \cdot 0,875^{x} \end{eqnarray*}$

Kann man so die Aufgabe lösen ? verwirrt

verwirrt

07.03.2014, 22:09

mYthos

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Da jetzt niemand deiner Helfer online ist, antworte ich mal:
Ja, das kann man im Prinzip so machen.

Allerdings ist der Umweg über die Prozentrechnung nicht notwendig.
Wir beachten bei (d), dass es dort heisst: ".. die Anzahl der Bienen nimmt nun rein exponentiell ab ..
Setze in die Bestandsfunktion

$\begin{eqnarray*} N(x) = N(0) \cdot a^x \end{eqnarray*}$

die gegebenen Werte ein:

$\begin{eqnarray*} 35 = 40 \cdot a^1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt unmittelbar die Größe von a (!)

Du musst ausserdem hier noch eines berücksichtigen: x ist jetzt die Beobachtungszeit in Tagen.

mY+

07.03.2014, 22:14

Dopap

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bin mir nicht sicher was du da rechnest.

Aber es gilt doch:

1.) $\begin{eqnarray*} N(t_1)=40 \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$

2.) neuer Ansatz: $\begin{eqnarray*} B(t)=ce^{-k_2t} \end{eqnarray*}$

nun gilt offensichtlich:

a.) $\begin{eqnarray*} B(t_1)=40 \end{eqnarray*}$
b.) $\begin{eqnarray*} B(t_2)=35 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} t_2 = t_1+\tfrac 17 \end{eqnarray*}$ ist.

es ist von entscheidender Bedeutung, die Vorgaben sauber in Gleichungen umzusetzen, sonst verliert man sich in "Dreisatzrechnung"
aber: das ist auch persönlicher Geschmack.

07.03.2014, 22:23

mYthos

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@Dopap

Man muss nicht mit der Basis e und der Konstanten k rechnen, dies kann auch in der Basis a vereinigt werden und vereinfacht in vielen Fällen die Rechnung.

07.03.2014, 22:30

Dopap

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@mYthos: alles klar !

wenn schon mit e-Funktion angefangen wurde, warum dann wechseln?

nur würde ich für die neue Funktion einen anderen Buchstaben wählen und bei t als Variable in Wochen bleiben.

07.03.2014, 22:34

Bonheur

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Ich möchte unbedingt alle Möglichkeiten kennenlernen. smile

smile

Was ist der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} B(t)=ce^{-k_2t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(t)=a \cdot q^{x} \end{eqnarray*}$ ?

Dopap: $\begin{eqnarray*} t_2 = t_1+\tfrac 17 \end{eqnarray*}$ . Ich habe jeden deiner Schritte verstanden, außer diesen Ausdruck. verwirrt

verwirrt

mYthos: $\begin{eqnarray*} 35 = 40 \cdot a^1 \end{eqnarray*}$ Muss die eins über dem a, weil in der Aufgabe nach einem Tag steht ? wenn da nach zwei Tagen stehen würde, müsste man über dem a eine zwei schreiben ?

Vielen Dank euch beiden, für die vielen Möglichkeiten. smile

smile

07.03.2014, 22:56

Dopap

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Zitat:

Original von Bonheur

Dopap: $\begin{eqnarray*} t_2 = t_1+\tfrac 17 \end{eqnarray*}$ . Ich habe jeden deiner Schritte verstanden, außer diesen Ausdruck. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ wird durch die Bedingung N(t_1)=40 definiert. Einen Tag= 1/7 Woche später ist der Bestand auf 35 gesunken.

somit passen N(t) und B(t) gleichzeitig in dasselbe Koordinatensystem.

Allgemein: es gibt keinen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} q^t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{kt} \end{eqnarray*}$

Nur: fängt eine Aufgabe z.b. mit einer Verdoppelung oder der Halbwertszeit an, dann bietet sich q^t direkt an.

07.03.2014, 23:09

mYthos

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Man muss auseinanderhalten, dass es sich anfangs um ein begrenztes Wachstum handelt und bei Aufgabe (d) um eine rein exponentielle Zerfallsfunktion.
Deshalb sind die zugehörigen Bestandsfunktionen auch so verschieden.

Und man kann mit der Basis e und der Konstanten k rechnen, oder den Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} e^{-k} \end{eqnarray*}$ in einer neuen Basis (a oder q) vereinen, es wird am Resultat nichts ändern.

Zitat:

Original von Bonheur
...
Was ist der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} B(t)=ce^{-k_2t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(t)=a \cdot q^{x} \end{eqnarray*}$ ?
...

Das ist nicht richtig aufgeschrieben, denn du musst schon bei einer Variablenbezeichnung bleiben, t oder x, das ist die Frage, und auch der Faktor c soll erhalten bleiben!

Also (bleiben wir mal bei der Zeit t und - um die Verwechslung mit dem anderen a zu vermeiden - nenne die Basis q) gilt:

Setze

$\begin{eqnarray*} e^{-k} = q, \text{ dann ist } e^{-kt} = q^t \end{eqnarray*}$

dann lautet die - rein exponentielle - Bestandsfunktion

$\begin{eqnarray*} B(t) = c \cdot e^{-kt} \ \text{bzw.} \ B(t) = c \cdot q^t \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Bonheur
...
$\begin{eqnarray*} 35 = 40 \cdot a^1 \end{eqnarray*}$ Muss die eins über dem a, weil in der Aufgabe nach einem Tag steht ? wenn da nach zwei Tagen stehen würde, müsste man über dem a eine zwei schreiben ?
...

Ja, so ist es.
Wenn man jedoch im selben Koordinatensystem bleiben will, wie bei den anderen Aufgaben, ist es tatsächlich ratsam, die Zeit in Wochen einzusetzen, also für einen Tag ist t --> 1/7 Woche

So berechne q aus

$\begin{eqnarray*} 35 = 40 \cdot q^{\frac 1 7} \end{eqnarray*}$

In der so erhaltenen Bestandsfunktion ist t in Wochen enthalten.

mY+

07.03.2014, 23:41

Dopap

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egal wie nun, es geht um das:

Das rote ist N(t) t>0

das grüne ist B(t) t>2

08.03.2014, 00:36

Bonheur

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Verstehe.

smile

Ich habe nur noch einige Verständnisfragen:

Wenn ich in Tagen gearbeitet hätte, wäre der Ansatz $\begin{eqnarray*} 40 \cdot a^{1}=35 \end{eqnarray*}$ falsch ?
Und dieser Ansatz gilt: $\begin{eqnarray*} 35 = 40 \cdot q^{\frac 1 7} \end{eqnarray*}$ , weil man schon einen Bestand von 40 Tausend hat und deshalb muss man nicht q^1/7 + t_1 nehmen oder?
Eine Woche hat sieben Tage und deshalb gilt für ein Tag in dieser Woche 1/7, hätte man eigentlich nicht auch eins nehmen können, weil man eigentlich dann ein Tag dazu zählt oder?

Die Rechnung ist eigentlich nicht notwendig gewesen oder?, weil man nur den Graphen zu ende zeichnen sollte oder?

Vielen Dank smile

smile

08.03.2014, 14:10

mYthos

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Gerade dafür, um den Graphen zu Ende zu zeichnen, braucht es folgende Voraussetzungen:

- Die Zeiteinheit WOCHEN ist - wie von Dopap bereits angemahnt - beizubehalten, sonst "passt" es ja nicht in das vorhandenen Koordinatensystem

- Die Funktionsgleichung für t in Wochen ist zu berechnen, ansonsten kannst du sie ja nicht zeichnen.
___________________________________

Nochmals sei angemerkt, dass sich die Funktion in (d) von jener in (a) signifikant unterscheidet, zu Beginn hatten wir ein begrenztes (kein logistisches*) Wachstum, danach handelt es sich um einen rein exponentiellen Zerfall.

Wenn du separat in Tagen gerechnet hättest, wäre der Ansatz nach dem 1. Tag 35 = 40a bzw. 35 = 40q durchaus richtig.
Bei t in Wochen ist es ebenso einfach, man schreibt eben $\begin{eqnarray*} 35 = 40 \cdot q^{\frac 1 7} \end{eqnarray*}$ , man kriegt dabei ein anderes q (genau ist es die 7. Potenz des ersten)

Egal, ob man in Wochen oder Tagen rechnet, der Anfangsbestand ist immer der Bestand zum Zeitpunkt t = 0, also am Beginn des Wachstums, daher wird am Anfang 1 NICHT dazugezählt.
Die 1 gilt erst am Ende des ersten Zeitabschnittes.

(*) Eine logistische Wachstumskurve ist ebenfalls begrenzt, hat einen Wendepunkt, davor ein progressives (Änderungsgeschwindigkeit steigend)
und danach ein degressives Änderungsverhalten (Änderungsgeschwindigkeit fallend) .

mY+

08.03.2014, 16:24

Bonheur

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Verstehe.

smile

Vielen Dank euch beiden. Ihr habt mir sehr geholfen und ich habe alles verstanden. Ich freue mich schon auf die Klausur. smile

smile

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