Surjektivitätsbeweis |
| 08.03.2014, 16:04 | DasBo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Surjektivitätsbeweis Hey... bräuchte nocheinmal Hilfe bei einem Beweis. Diesmal gehts um Surjektivität. Zeige das f nicht surjektiv ist: f: Z x Z -> Z x Z f (a,b) = (2a + b, a -b) Meine Ideen: Es gibt prinzipiell ja zwei Herangehensweisen, soweit ich weiß. Bei einer Zahl vor einer Variablen, bestimmt man eine beliebige Zahl und zeigt dann, dass diese kein Abbild hat. Also zum Beispiel 5x + 3 = 7 (da x= 4/5) wird nicht in Z abgebildet und deshalb ist die Funktion nicht surjektiv. Eine andere Möglichkeit wäre die Umkehrfunktion. Das habe ich jedoch nicht ganz verstanden. Da bei dieser Aufgabe ja auch zwei Variablen sind, funktioniert die erste Möglichkeit ja nicht ...oder vielleicht doch? Würde mich über einen Tipp freuen. Danke schonmal im Voraus |
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| 08.03.2014, 16:26 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Surjektivitätsbeweis Mit der Formulierung "nicht surjektiv" ist dir im Grunde schon mitgegeben worden, dass ein Beispiel ausreicht. Wenn die Abbildung surjektiv wäre, dann muss jedes Element in ZxZ im Bild der Funktion f liegen. Fällt dir vielleicht eine besondere Konstellation ein, wo dies mit Elementen aus Z nicht möglich ist? |
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| 08.03.2014, 16:27 | Tesserakt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die erste Möglichkeit funktioniert auch. Bsp. Überprüfe, ob in der Menge enthalten ist für verschiedene . |
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| 08.03.2014, 17:15 | DasBo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe leider die Vorgehensweise nicht ganz. Wenn ich zum Beispiel die Aufgabe Z -> Z, f(n) = 7n-14 habe, dann kann ich ja sagen, dass f(n)=3 kein Urbild besitzt, weil aus 7n-14 = 3 ...n=17/7 folgt. Das heisst hier kann ich nach n auflösen. Mein Problem sind aber die zwei Variablen. Ich kann ja hier nicht schreiben: 2a+b = Wert1 und Wert2 bzw a-b=Wert1 und Wert 2. Oder muss ich für 2a+b Werte in a und b einsetzen? Also beispielsweise 2*(3)+4. Dann weiss ich aber nicht was mir das bringen soll. Ich muss ja nach irgendwas auflösen um einen Wert zu erhalten, der nicht in Z enthalten ist. |
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| 08.03.2014, 17:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Surjektivitätsbeweis Zeige das f nicht surjektiv ist: f: Z x Z -> Z x Z f (a,b) = (2a + b, a -b) Nun gibt es in Z x Z zum Beispiel den Punkt (1,1). Dementsprechend muss gelten 2a + b = 1 a-b = 1 Das kannst du dann doch auch auf Forderungen an eine Variable reduzieren. |
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| 08.03.2014, 17:42 | DasBo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke dir!! Genau das war mir nicht klar, wie ich die Punkte aufschreiben muss. Eine Möglichkeit wäre also zum Beispiel der Punkt (4, 0) Das heisst: 1) 2a + b = 4 2) a - b = 0 aus 2) folgt a=b und durch Einsetzen in 1) b=4/3 wodurch bewiesen ist, dass f nicht surjektiv ist. Nur um zu sehen ob ichs verstanden habe ZxZ->ZxZxZ, f(x,y) = (xy³, xy³ - 2y- 9, (y²-5)x) Da in Z³ abgebildet wird und ich drei Gleichungen habe, jedoch nur zwei Variablen benötige ich trotzdem drei Werte oder? Also zum Beispiel: (0,0,0) 1) xy³=0 2) xy³ - 2y -9 = 0 3) (y²-5)x = 0 Durch Einsetzen von 1) in 2) erhält man -2y = 9 daraus folgt y= - 9/2. Reicht das als Beweis dann schon aus, um zu sagen dass die Gleichung nicht surjektiv ist? |
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| 08.03.2014, 17:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, drei Werte. f(x,y) = (xy³, xy³ - 2y- 9, (y²-5)x) Für das Beispiel (0,0,0) folgt xy³ = 0, d.h. x und/oder y gleich 0. Aus der letzten Gleichung ergibt sich dann die Forderung, dass x =0 sein muss (y²=5 in Z nicht lösbar). Somit bleibt -2y - 9 = 0. Und das besitzt in Z auch keine Lösung. Deine Argumentation ohne Koordinate 3 geht auch, da hier dier Widerspruch ja schon eintritt. |
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| 08.03.2014, 17:55 | DasBo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Cool...danke 
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| 08.03.2014, 17:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann viel Erfolg weiterhin. 
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| 13.03.2014, 20:59 | DasBo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe doch noch eine Funktion gefunden, die mir Probleme bereitet, da dort keine Variable mit einer Zahl verknüpft ist. Z-> Z x Z f(v) = (v - 3, v + 2) Was muss man da machen? |
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| 13.03.2014, 23:25 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du denn damit? |
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