Orthogonalprojektion

09.03.2014, 11:49	zewa-softis	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalprojektion Hallo! V = R^4 mit kan Skalarprodukt Bestimme die Matrixdarstellung (bzgl Standardbasis) der Orthogonalprojektion auf den Unterraum U, der durch $\begin{eqnarray} x_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} und x_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe mal eine Orthonormalbasis berechnet (mit Hilfe Gram Schmidt) $\begin{eqnarray} a_1 =1/2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} und a_{2} = 1/2 * \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann hab ich $\begin{eqnarray} p(e_{1}) = <e_{1},a_{1}>a_{1} + <e_{1},a_{2}>a_{2} \end{eqnarray}$ usw berechnet, also bis $\begin{eqnarray} p(e_{4}) \end{eqnarray*}$ Kann ich dann aus den berechneten p (e) s meine Matrix auftsellen? oder hab ich mich irgendwo komplett vertan? Vielen Dank für eure Hilfe! LG
09.03.2014, 12:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonal sind die Vektoren $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ , orthonormal sind sie aber nicht. Mach eine Orthonormalbasis von U daraus.
09.03.2014, 13:36	zewa-softis	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dann? was mach ich mit der Basis? ist dass dann nicht p(e) ?
10.03.2014, 13:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bilder der Standardbasis $\begin{eqnarray} \{e_1,...,e_4\} \end{eqnarray}$ sind die $\begin{eqnarray} p(e_i), \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} \{a_1,a_2\} \end{eqnarray}$ eine Orthonormalbasis ist. Wie bei jeder linearen Abbildung stehen die Bilder der Basis in den Spalten der Matrix.
11.03.2014, 13:01	temposneinnein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Kann mir jemand bitte sagen, wo die p(e) Formel herkommt? Ich finde diese leider in meinen Unterlagen nicht Vielen Dank!!! Lg
12.03.2014, 08:15	zewa-softis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Vielen Dank für deine bisherige Hilfe! Eine Frage hätte ich noch: Damit ich wirklich eine ONB habe, brauche ich noch zwei Vektoren, oder ? Wie bekomme ich dir?
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12.03.2014, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@zewa-softies Zwei Vektoren genügen völlig als Basis des 2-dimensionalen Bildraumes U, auf den V projiziert wird. @temposneinnein Alle Formeln findest du z.B. hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion
13.03.2014, 09:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bitte um Entschuldigung. Ich habe noch einmal nachgelesen und gesehen, dass $\begin{eqnarray} \{a_1,a_2\} \end{eqnarray}$ schon ganz richtig eine Orthonormalbasis von U ist. Du hast also alles richtig gemacht, ich hatte mich am 15.03. verrechnet. Schreibe deine $\begin{eqnarray} p(e_1),...,p(e_4) \end{eqnarray}$ als Spalten eine 4x4-Matrix und du bist fertig.

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