Integration

09.03.2014, 15:16

AliasAlias

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Integration

Hallo, ich integriere gerade durch Substitution folgenden Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{(4-3x^{2})^{2} } \end{eqnarray*}$ und zwar bin ich soweit, dass ich das hier stehen habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int 6x*\frac{-1}{(4-3x^{2}) } dx \end{eqnarray*}$

das Ergebnis muss aber sein:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-1}{3*(4-3x^{2} } dx \end{eqnarray*}$

das ist dann ja schon fast richtig was ich habe, nur irgendwie stört da die 6x, ich habe aber keine Ahnung wie die da weg zu bekommen ist, oder muss die gar nicht da sein? Dann würde meine Rechnung ja stimmen Big Laugh

Big Laugh

09.03.2014, 15:35

Equester

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Wo kommt denn bei dir das 1/3 da vorne her?
Warum steht bei dir 6x im Zähler? Das muss doch in den Nenner.

Mach nochmal ganz langsam und sauber die Substitution. Wie lautet diese?

09.03.2014, 15:45

AliasAlias

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Hat unser Lehrer uns gesagt, dass da irgendwie so ein Faktor hinmuss, um die Ableitung oder so (6x) wieder auszugleiche, damit das passt.

09.03.2014, 15:46

Equester

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Das ist richtig. Der Faktor kommt aber in den Nenner und nicht in den Zähler Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.03.2014, 15:48

AliasAlias

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Versteh ich jetzt nicht so ganz. Wie soll das denn dann aussehen?

09.03.2014, 15:57

Equester

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Also ich zeige dir mal an diesem Beispiel wie man da rangeht. In den anderen Threads darfst du das dann selbst machen.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-2x}{(4-3x^2)^2}\; dx \end{eqnarray*}$

Substituiere: $\begin{eqnarray*} 4-3x^2 = u \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} du = -6x dx \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{-6x} \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-2x}{u^2}\; \frac{du}{-6x} = \int \frac{1}{3u^2}\; du = ... \end{eqnarray*}$

Es hat sich also hier $\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{-6x} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ gekürzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

So in etwa müsst ihr das in der Schule auch gemacht haben? -6x ist der "Vorfaktor" von dem du gesprochen hattest?!

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09.03.2014, 16:04

AliasAlias

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Vielen Dank fürs Beispiel. Aber genau so haben wir es eben nicht gemacht, das ist das was mich so nervt, ich finde es im Internet nur so, und habs noch nie gesehen.
Ab dem Einsetzen der Substitution versteh ich gar nichts mehr..
du soll doch die Ableitung der Klammer sein, ich kapier das alles nicht unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

09.03.2014, 16:12

Equester

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Hast du mir mal eine fotographie deines Aufschriebes wo dein Lehrer seine Methode verwendet hat?
Vllt werde ich daraus schlau. Das was du da hingeschrieben hattest ergibt so nicht viel Sinn :P.

09.03.2014, 16:15

AliasAlias

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Nein, find ich leider nicht mehr...

Aber ich weiß, dass es hieß F(g(x)) oder so, und das wars dann eigentlich schon meinte eben jemand aus meinem Kurs.. Kann das stimmen, wenn dann noch dieser Ausgleichende Faktor dahin kommt?

09.03.2014, 16:19

Equester

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Das ist das gleiche wie ich gerade vorgemacht habe.
Heißt halt nicht u, sondern F(g(x)). Ist vllt etwas förmlicher als das von mir gezeigt.
Und ja, einen Vorfaktor 1/g'(x) brauchts immernoch Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.03.2014, 16:33

AliasAlias

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Tschuldigung dass ich so doof frage, aber kannst du mir erklären was genau du da unter "Einsetzen der Substitution" gemacht hast? Ich versteh beim besten Willen nicht, was das sein soll. traurig

traurig

09.03.2014, 16:42

Equester

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Zitat:

Original von Equester
Also ich zeige dir mal an diesem Beispiel wie man da rangeht. In den anderen Threads darfst du das dann selbst machen.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-2x}{(4-3x^2)^2}\; dx \end{eqnarray*}$ ursprüngliches Integral

Substituiere: $\begin{eqnarray*} 4-3x^2 = u \end{eqnarray*}$ Den "inneren" Teil des Nenners substituieren

und damit $\begin{eqnarray*} du = -6x dx \end{eqnarray*}$
Du kannst jetzt nicht einfach 4-3x^2 durch u ersetzen und dann die Sache auf sich beruhen lassen. Immerhin steht im Integral ja noch dx. Wir wollen/müssen das durch du ersetzen. Deshalb die Substitution einfach ableiten. (4-3x^2)' = -6x dx und u' = 1 du.

, also $\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{-6x} \end{eqnarray*}$

Wir wollen ja dx ersetzen. Deswegen die "Ableitung" die wir gerade gemacht haben, nach dx umstellen.

Einsetzen der Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-2x}{u^2}\; \frac{du}{-6x} = \int \frac{1}{3u^2}\; du = ... \end{eqnarray*}$

Das sollte klar sein. Es wurde die Substitution eingesetzt. Die "Ableitung" die wir gebildet hatten kürzt sich nun teilweise mit dem urspünglichen Zähler.
Merke: Eine Substitution ist nur dann sinnvoll, wenn keine ursprüngliche Variable mehr da ist.
Bei uns darf also kein x mehr im Integral vorkommen, sondern es muss vollständig von u abhängig sein!

Es hat sich also hier $\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{-6x} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ gekürzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

So in etwa müsst ihr das in der Schule auch gemacht haben? -6x ist der "Vorfaktor" von dem du gesprochen hattest?!

Helfen dir die Kommentar weiter? smile

smile

09.03.2014, 16:54

AliasAlias

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Danke erstmal für die Erklärung.

Das hier verstehe ich nicht:
Deshalb die Substitution einfach ableiten. (4-3x^2)' = -6x dx und u' = 1 du.

wieso ist u' = 1 du?

Und beim Einsetzen der Substitution verstehe ich weder, warum dann da du/-6x noch wieso du das zu dem zusammengefasst hast, was dort steht.

09.03.2014, 17:04

Equester

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Die Ableitung von u nach u ist 1. Einverstanden?

Dass das du noch hinkommt ist eine etwas längere Geschichte. Wenn du dieser Geschichte (Kurzfassung) zuhören willst^^. Achte aber darauf, dass diese nicht ganz mathematisch sauber ist.

4-3x^2 = u

Daraus ergibt sich (ableiten)

-6x = du/dx |*dx
-6x dx = du

Ich würde mir einfach merken wie das Prinzip funktioniert.
Substituieren und davon die Ableitung bilden, wobei dx und du drangesetzt werden ,9.

Zitat:

Und beim Einsetzen der Substitution verstehe ich weder, warum dann da du/-6x noch wieso du das zu dem zusammengefasst hast, was dort steht.

Wie bzw. wo meinst du das? Ich habe nur zusammengefasst/gerechnet. Mehr nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.03.2014, 17:08

AliasAlias

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Also u abgeleitet ist 1, das ist nachvollziehbar, falls es so gemeint ist.
Aber ist -6x dann du?
Was ist denn eigentlich dx und du? Ich kapier den ganzen Kram gerade irgendwie nicht..

09.03.2014, 17:12

Equester

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Nein. -6x dx = du

Der einfach halber würde ich mir "dx" bzw. "du" als Indikator merken.
Sie zeigen an nach was integriert wird.
Eine sonstige Bedeutung kommt ihnen (rechnerisch) nicht zu.

09.03.2014, 18:46

AliasAlias

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Danke für deine Mühen, aber irgendwie kapier ich das einfach nicht. Ich setz mich nachher nach dem Essen nochmal dran.

09.03.2014, 18:48

Equester

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Gib dann Bescheid, wenn man noch was helfen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.03.2014, 20:48

AliasAlias

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So, habe mich der Aufgabe nochmal angenommen.

Ich habs jetzt nochmal nach der Formel ausm Buch gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int f(g(x))*g'(x)dx = \int f(z)dz \end{eqnarray*}$

dann kommt raus

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(4-3x^{2})^{2} } * (-2) = \int ... ? \end{eqnarray*}$

Aber das scheint ja nicht zu stimmen ......

09.03.2014, 20:55

Equester

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Die Formel besagt "Wenn das Integral so vorliegt, dass die innere Ableitung als Faktor vorangeschrieben werden kann, dann gilt die rechte Seite".

Bei dir steht dieser Vorfaktor aber nicht so dran. Du musst das erst umformen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-2x}{(4-3x^{2})^{2} } dx = \int \frac33\frac{-2x}{(4-3x^{2})^{2} } dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{-6x}{3(4-3x^{2})^{2} } dx = \frac13\int \frac{-6x}{(4-3x^{2})^{2} } dx \end{eqnarray*}$

Erst jetzt hast du die von dir genannte Form vorliegen. Du kannst das nun in z umschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.03.2014, 21:23

AliasAlias

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Ach so, okay, das Umformen versteh ich, nur halt mal wieder nicht was da jetzt das z ist. Und generell wie das weitergeht. Tut mir Leid, dass ich dich den halben Tag mit so vermutlich ziemlich simplen Fragen löchere..

09.03.2014, 21:32

Equester

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Solange du löcherst zeugst du von Interesse und dann ist das kein Problem smile

smile

.

z ist nun g(x).

$\begin{eqnarray*} \int f(\color{red}g(x)\color{black})*g'(x)dx = \int f(\color{red}z\color{black})dz \end{eqnarray*}$

Wir haben folglich

$\begin{eqnarray*} \frac13\int \frac{-6x}{(4-3x^{2})^{2} } dx = \frac13\int\frac{1}{z^2} dz \end{eqnarray*}$

Denn $\begin{eqnarray*} g(x) = 4-3x^2 \end{eqnarray*}$

09.03.2014, 21:41

AliasAlias

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Jetzt hab ichs glaub ich verstanden. Wenn man dann die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ noch verrechnet hat man ja das richtige Ergebnis Tanzen

Tanzen

Ist das Prinzip denn eigentlich in allen Fällen anwendbar? Müsste doch eigentlich zumindest bei jedem Bruch klappen, oder?

Danke für die Hilfe!!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3*(4-3x^{2})^{2} } \end{eqnarray*}$ ist es dann ja.

09.03.2014, 21:54

Equester

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Nein, das geht leider nicht immer. Nur, wenn du es so zurückführen kannst, dass die innere Ableitung als Vorfaktor rausgeschrieben werden kann. Hättest du im Zähler nicht -2x, sondern -2 gehabt, wäre das schon nicht mehr gegangen.

Das ist leider nicht richtig. Was ergibt denn

$\begin{eqnarray*} \frac13\int\frac{1}{z^2} dz \end{eqnarray*}$ ?

Du musst doch erst integrieren bevor du resubstituierst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.03.2014, 22:08

AliasAlias

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Schade.

Jo, stimmt ja. Mist.

Ist dann glaub ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \frac{-1}{z} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{3z} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{3*(4-3x^{2})} +c \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

09.03.2014, 22:15

Equester

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So und nicht anders Freude

Freude

.

Am Ende vllt noch eine Integrationskonstante um es auch wirklich perfekt aufzuschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.03.2014, 22:22

AliasAlias

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Super, danke!

Dann guck ich mir das morgen nochmal an, wie es geht, wenn diese Möglichkeit hier nicht besteht, und dann sollte das einigermaßen klappen bei der Klausur^^.

09.03.2014, 22:31

Equester

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Falls Fragen sind, du weißt wo du Hilfe findest.

Ansonsten gerne und viel Erfolg,

Wink

Wink

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