Wachstum

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09.03.2014, 15:20	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Wachstum Meine Frage: Gegeben ist eine komplexe Sachaufgabe über die Analysis. Leider verstehe ich die Aufgabe überhaupt nicht. Von 2 verschiedenen Paprikasorten wurden an je einem Exemplar die Staudenhöhe gemessen. Paprikasorte I: $\begin{eqnarray} \frac{T}{cm} = \frac{0}{10} \frac{5}{12,2} \frac{10}{14,9} \frac{20}{22,3} \end{eqnarray}$ Paprikasorte II: $\begin{eqnarray} \frac{T}{cm} = \frac{0}{10} \frac{5}{22,7} \frac{10}{33,1} \frac{20}{48,5} \end{eqnarray}$ a) Begründen Sie anhand aller Tabellenwerte, dass man bei Sorte I für den betrachteten Zeitraum unbegrenztes exponentielles Höhenwachstum annehmen darf. Stellen Sie das Wachstumsgesetz in der Form h1(t) = $\begin{eqnarray} c\cdot e^{kt} \end{eqnarray}$ aus den fettgedruckten Tabellenwerten von Paprikasorte I auf. Kontrolle k ~ -0,04 Meine Ideen: Es hat etwas mit exponentiellen Wachstum zu tun. Aber wie ich an die Aufgabe rangehen soll und diese lösen kann, weiß ich nicht.
09.03.2014, 15:35	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Es muss z.B. gelten: $\begin{eqnarray} 12,2=10e^{k5} \end{eqnarray}$ oder: $\begin{eqnarray} 22,3=14,9e^{k10} \end{eqnarray}$ etc. Du kannst auch andere Zeiträume mit entsprechenden Staudenhöhen wählen. Berechne k und vergleiche die Werte. k sollte annähernd immer gleich sein.
09.03.2014, 15:38	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Woher nehm ich denn diesen c wert??
09.03.2014, 15:43	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Aus der mitgelieferten Tabelle, in der das Wachstum in cm (=C) und die Zeiträume (T) aufgeführt sind. Zum Zeitpunkt T(=0) ist die Staude 10 cm hoch, bei T(=5) ist sie 12,2 cm hoch usw.
09.03.2014, 15:53	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Aber die Formal lautet ja $\begin{eqnarray} h1(t) = c e^{kt} \end{eqnarray}$ und h1 ist ja die Höhe in cm und t sind die Tage. Also würde doch die Formal $\begin{eqnarray} 22,3 (20) = c * e^{k20} \end{eqnarray}$ Oder versteh ich das total falsch??
09.03.2014, 16:02	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Du brauchst eine Ausgangshöhe (=c) und eine Endhöhe (h) und den dazwischenliegenden Zeitraum. Beispiel: Ausgangshöhe c könnte 10 sein, die Endhöhe h 12,2. Dazwischen liegen 5 (=5-0) Zeiträume. So kommst du auf meine erste Gleichung, mit der den Wachstumskoeffizienten k berechnen kannst.
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09.03.2014, 16:05	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Ahh. Ja das verstehe ich jetzt Aber wie kann ich an das k kommen im Exponenten??
09.03.2014, 16:07	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Durch 10 dividieren, dann mit ln logaritmieren.
09.03.2014, 16:15	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Mein k ergibt immer 0. Ist das richtig??
09.03.2014, 16:23	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Nein. $\begin{eqnarray} e^{k5}=12,2/10 \|ln \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k5=ln1,22 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=ln1,22/5=0,04 \end{eqnarray}$ (gerundet)
09.03.2014, 16:25	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Ja tschuldigung. Genau das habe ich auch gerade herausbekommen. Die Begründung des exponentiellen Höhenwachstums wäre jetzt der gleiche wert von k. oder?
09.03.2014, 16:35	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Vllt. genauer so: Egal welche Zeiträume man berechnet, für k erhält man immer (ungefähr) denselben Wert.
09.03.2014, 16:41	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Vielen lieben Dank. Aufgabe b) ist ähnlich der Aufgabe a). Aber jetzt habe ich 2 Koeffizienten. b) Das Höhenwachstum der Paprikasorte II soll durch eine Funktion der Form h2(t)= $\begin{eqnarray} 80 - a \cdot e^{bt} \end{eqnarray}$ beschrieben werden. Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b anhand der fettgedruckten Tabellenwerte. Fettgedruckt sind in dieser tabelle: $\begin{eqnarray} \frac{t}{h2} : \frac{0}{10} \frac{5}{22,7} \end{eqnarray}$
09.03.2014, 16:45	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Stelle dazu 2 Gleichungen der nun bekannten Sorte auf.
09.03.2014, 16:50	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Wäre die Gleichung: 22,7 = 80 - a * $\begin{eqnarray} e^{b5} \end{eqnarray*}$ ??
09.03.2014, 17:41	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Die 2. Gleichung lautet: $\begin{eqnarray} 10=80-ae^{b0} \end{eqnarray}$ Damit lässt sich schnell a ermitteln. Den Wert für a jetzt noch in die 1.Gleichung einsetzen und nach b auflösen.
09.03.2014, 17:44	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Ich verstehe diese Aufgabe nicht Ich verzweifel daran
09.03.2014, 17:46	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum War die 1. Gleichung von mir denn richtig???
09.03.2014, 17:48	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Das war sie.
09.03.2014, 17:51	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Wenn ich die 2. Gleichung nach b umstelle. Dann kommt für b = ln70+ a
09.03.2014, 17:56	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Nein. $\begin{eqnarray} e^{b0}=e^0=1 \end{eqnarray}$ ---> $\begin{eqnarray} 10=80-a1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=70 \end{eqnarray}$
09.03.2014, 18:01	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Ich habe die 70 für a in die 1. Gleichung gesetzt ... und für b erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{ln12,7}{5} \end{eqnarray}$
09.03.2014, 18:02	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Aber das kann ja gar nicht stimmen wegen dem Kontrollwert.
09.03.2014, 18:21	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Eingesetzt ergibt sich: $\begin{eqnarray} 22,7=80-70e^{b5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{b5}=57,3/70 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b5=ln(57,3/70) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=ln(57,3/70)/5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=-0,04 \end{eqnarray}$
09.03.2014, 18:28	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Ah ... Ich hab die 70 plus gerechnet .. das war der Fehler c) Begründen Sie, dass das Wachstumsmodell der Sorte II nach oben begrenzt ist. Geben sie die maximal erreichbare höhe an. Hier sind Extrema gefragt. Dafür benötige ich ja die erste Ableitung. h2(t) = $\begin{eqnarray} 80 - a \cdot e^{bt} \end{eqnarray}$ Hier muss ich die Produktregel anwenden. Aber das a ist doch kein konstanter Faktor oder? .. Das a fällt doch weg bei der Ableitung..
09.03.2014, 18:44	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum a ist sehr wohl ein konstanter Faktor, der bei der Ableitung mitgeschleppt werden muss. $\begin{eqnarray} h´(t)=-70(-0,04)e^{-0,04t} \end{eqnarray*}$ Setze das NULL und löse nach t auf. Wenn du das gefundene t in h(t) einsetzt, erhälst du die max. Höhe.
09.03.2014, 18:50	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum $\begin{eqnarray} 0 = -70 \cdot (-0,04) \cdot e^{-0,04t} <br /> 0 = 2,8 \cdot e^{-0,04t} <br /> 0 = e^{-0,04t} \end{eqnarray}$ Jetzt mit dem ln nach t auflösen. Und dann bleibt für t = 0 ... irgendwo muss doch da ein Fehler sein.
09.03.2014, 18:56	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Die Rechnung stimmt. Jetzt zur Interpretation: Was passiert, wenn t immer größer wird ? Gegen welchen Wert strebt dann e^{-0,04*t} und damit h(t) ?
09.03.2014, 18:59	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Bei mir strebt das dann gegen 0
09.03.2014, 19:01	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Völlig richtig. Was bedeutet das für h(t) ?
09.03.2014, 19:02	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Das h(t) immer größer wird, oder?
09.03.2014, 19:06	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Wieso das denn ? h(t)=80-0=80 (für t gegen unendlich), oder ?
10.03.2014, 16:18	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Wurde jetzt das Verhalten im unendlichen berechnet?? Wenn ja dann kommt bei mir raus $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ strebt gegen 80 und das wäre dann die maximale höhe
10.03.2014, 16:23	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wachstum Ja, 80 ist die max. Höhe.

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