Stabile Verteilung und Zyklen bei Populationsmatrizen

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Stabile Verteilung und Zyklen bei Populationsmatrizen
Meine Frage:
Nabend,

folgenden Lösungsansatz hat mein Lehrer uns beigebracht:

Bei einer Populationsmatrix M kann man einen Zyklus und eine stabile Verteilung erkennen.

Ein Zyklus erschließt sich durch Ausprobieren von Potenzen von M (M^2 usw.). Man kommt zu dem Ergebnis, dass nach 4 Zeitschritten sich die Populationsmatrix wiederholt -> M^4=E (E=Einheitsmatrix) Dieser Zyklus wurde vom Lehrer als stabile Verteilung bezeichnet.

Außerdem kommt man zu dem Ergebnis, dass es eine (andere?) stabile Verteilung gibt:
M * Fixvektor = Fixvektor | ersetze x1 des Fixvektors mit dem Wert 1
Das um eine Variable reduzierte GS liefert: Fixvektor = k * (20 4 2 1)
Dieser Fixvektor wurde ebenfalls als stabil bezeichnet.

Meine Frage ist nun, wie diese beiden Ergebnisse zusammenhängen. Wie kann es sein, dass es trotz der zyklischen Wiederholung eine langfristige stabile Verteilung (gemeint ist der Fixvektor) gibt?

Danke im voraus.

MfG

Meine Ideen:
Wie gesagt, ich kann mir das nicht erklären. unglücklich Unser Lehrer ist etwas unstrukturiert...
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