Anzahl von Möglichkeiten Würfel

18.03.2014, 15:45	StephenC	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl von Möglichkeiten Würfel Hallo =) Ich hänge gerade bei folgender Aufgabe fest: Mit einem Würfel wird 5 mal geworfen. Mit wievielen verschiedenen Wurfkombinationen ist es möglich die Augenzahl 16 zu würfeln? Hab versucht es mit dm Binomialkoeffizient zu berechnen, ich komm jedoch nicht auf einen grünen Zweig Bin für jeden Vorschlag dankbar!
18.03.2014, 16:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier erst einmal nicht mit Formeln arbeiten, sondern den gesunden Menschenverstand einsetzen. Mit Formeln geht das nur schief (jedenfalls am Anfang des Lösungswegs). Hundertprozentig. Überlege dir erst einmal, auf wie viele Arten es möglich ist, die Zahl $\begin{eqnarray} 16 \end{eqnarray}$ als Summe aus $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ Summanden zu schreiben, die alle zwischen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ liegen. Ordne die Summanden der Größe nach, z.B. mit dem größten beginnend. Hier einmal drei Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} 6+4+4+1+1 = 16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4+4+3+3+2 = 16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4+3+3+3+3 = 16 \end{eqnarray}$ Jetzt kommt es darauf an, was unter "Wurfkombinationen" zu verstehen ist. Möglicherweise sind gerade diese Summen gemeint. Dann ist die Anzahl der verschiedenen Summen die Anzahl der Wurfkombinationen. Es könnte aber auch sein, daß jede Permutation der Summanden extra zu zählen ist. Dann müßte man als Beispiel bei meiner dritten Summe oben die Summen $\begin{eqnarray} 4+3+3+3+3, \ 3+4+3+3+3, \ 3+3+4+3+3, \ 3+3+3+4+3, \ 3+3+3+3+4 \end{eqnarray}$ extra zählen. Hier sind das gerade $\begin{eqnarray} \frac{5!}{1!4!} = 5 \end{eqnarray}$ Summen, die aus derselben "Ursumme" $\begin{eqnarray} 4+3+3+3+3 \end{eqnarray}$ mit geordneten Summanden entstehen.
18.03.2014, 16:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung der Summe von n Augenzahlen beim Würfeln
18.03.2014, 18:46	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
mein TR rechnet problemlos: $\begin{eqnarray} (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)^5 = ..... 735x^{16} .... \end{eqnarray}$ nun nehme ich an, dass 735 die Anzahl der Variationen für die Augensumme 16 ist. stimmt das ?
18.03.2014, 19:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Begriffe Variationen, Kombinationen und so weiter haben mir nie etwas gesagt. Ich orientiere mich lieber konkret am aktuellen Problem als an irgendwelchen vorgestanzten Formeln. Dein Ergebnis stimmt jedenfalls, wenn man alle Permutationen der jeweiligen Summanden extra zählt, wie ich das in meinem Beitrag ausgeführt habe. Tut man das nicht, identifiziert man also Summen, die sich nur in der Reihenfolge der Summanden unterscheiden, kommt man auf 19 Möglichkeiten.
18.03.2014, 19:24	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr gut ! ---------------------------------------------------------------- Kombinationen =Anzahl verschiedener Mengen. Variationen = Anzahl verschiedener Tupel z.B. Lotto = Kombinationen ohne Zurücklegen Wurf mit Würfelbecher = Kombinationen mit Zurücklegen Toto = Variationen mit Zurücklegen ...
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18.03.2014, 19:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Anzahl der Möglichkeiten mit Beachtung der Reihefolge könnte man auch $\begin{eqnarray} \binom{15}{4} - 5\cdot\binom{9}{4} = 735 \end{eqnarray}$ rechnen. Dabei ist $\begin{eqnarray} \binom{15}{4} \end{eqnarray}$ die Anzahl der 5-Tupel mit Summanden $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$ und Summe 16, während $\begin{eqnarray} \binom{9}{4} \end{eqnarray}$ die Anzahl solcher 5-Tupel ist, wo ein konkret festgelegter Summand $\begin{eqnarray} \geq 7 \end{eqnarray}$ ist.

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