Untervektorräume: Summe und Schnitt

18.03.2014, 19:37

Matthias1993

Untervektorräume: Summe und Schnitt

Gilt für A,B,C Untervektorräume

$\begin{eqnarray*} (A \bigoplus B) \cap (A \bigoplus C) = A \bigoplus (B \cap C) \end{eqnarray*}$

?

Ich stehe gerade auf dem Schlauch. Von rechts nach links gilt es, da rechts ein Untervektorraum von links ist, also insbesondere eine Teilmenge.

Wie kann man links ist Teilmenge von rechts zeigen?

19.03.2014, 11:43

Elvis

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Das kann man nicht zeigen, weil es nicht gilt. Augenzwinkern

19.03.2014, 15:58

RavenOnJ

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RE: Untervektorräume: Summe und Schnitt

Zitat:

Original von Matthias1993
Gilt für A,B,C Untervektorräume

$\begin{eqnarray*} (A \bigoplus B) \cap (A \bigoplus C) = A \bigoplus (B \cap C) \end{eqnarray*}$

?

Wenn $\begin{eqnarray*} C\subset A\oplus B \small\text{ und } C\not\subset A\text{ sowie }B\cap C = \{0\} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} (A \oplus B) \cap (A \oplus C) = A \oplus C \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} A \oplus (B \cap C) = A\oplus \{0\} = A\not= A \oplus C \end{eqnarray*}$ .

Noch ein Gegenbeispiel: Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein 2-dimensionaler UVR des 3-dimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B,C\not\subset A\small \text{ sowie } B\cap C=\{0\} \end{eqnarray*}$ , dann sind $\begin{eqnarray*} A\oplus B = A\oplus C = (A \oplus B) \cap (A \oplus C) = \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} A \oplus (B \cap C) = A \end{eqnarray*}$ .

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