Aussagen über Gruppe mit |G|=35

19.03.2014, 01:28

Duude

Aussagen über Gruppe mit |G|=35

Hallo zusammen,

ich möchte gerne möglichst viele Aussagen über eine Gruppe machen, von der ich nur weiß, dass |G|=35 gilt. (Ich möchte das eigentlich etwas allgemeiner für verschiedene endliche Gruppenordnungen betrachten, habe mir aber als Einstiegsbeispiel mal eine Gruppenordnung als Produkt von zwei Primzahlen gewählt und will schauen, was ich daraus schließen kann.)

Über die Sylowsätze habe ich schon herausgefunden, dass es genau eine Untergruppe der Ordnung 5 und genau eine Untergruppe der Ordnung 7 geben muss.

Jetzt hört es aber schon größtenteils auf.. Ich hatte mir überlegt, ob die Gruppe abelsch ist oder nicht. So direkt konnte ich das nicht ablesen (kann man das irgendwie sehen oder sich veranschaulichen?) Ich habe schließlich in einem anderen Thread die Antwort gefunden, dass Gruppen der Ordnung 35 immer abelsch sind. (Begründung: Für $\begin{eqnarray*} p \nmid q-1 \end{eqnarray*}$ ist jede Gruppe G der Ordnung pq abelsch)

Da G also endlich und abelsch ist, muss es isomorph sein zu einem direkten Produkt zyklischer Gruppen. Die Möglichkeiten die sich hier bieten sind Z/35Z sowie Z/5Z x Z/7Z.

Ich möchte nun herausfinden zu welcher der beiden Kandidaten meine Gruppe isomorph ist. Ich habe gelesen, dass Z/5Z x Z/7Z nicht-abelsch sein soll. Das konnte ich aber nicht nachrechnen, da ich mir diesem direkten Produkt von zyklischen Gruppen noch nicht so zurecht komme. Wie kann ich mir denn das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen vorstellen?

Also müsste G isomorph sein zu Z/35Z.

Und gibt es weitere Dinge, die ich nur anhand der spärlichen Information der Gruppenordnung herausfinden könnte?

Danke schonmal für jede Hilfe smile

lg Duude

19.03.2014, 01:45

Captain Kirk

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Hi,

Zitat:

Ich hatte mir überlegt, ob die Gruppe abelsch ist oder nicht. So direkt konnte ich das nicht ablesen (kann man das irgendwie sehen oder sich veranschaulichen?)

Außer dem hier benutzten gilt noch: Alle Gruppen der Ordnung p² (p prim) sind abelsch. Ganz allgmein kann man nicht viel mehr sagen.
Ich kenne keinerlei Veranschaulichung für "abelsch" oder sinnvolle für allgemeine Gruppen. Ist mMn auch absolut unnötig, genauso wie in weiten teilen der Mathematik.

Zitat:

Die Möglichkeiten die sich hier bieten sind Z/35Z sowie Z/5Z x Z/7Z.

Die beiden Gruppen sind isomorph.

Zitat:

Ich habe gelesen, dass Z/5Z x Z/7Z nicht-abelsch sein so

Wo hast du denn diesen hahnebüchenen Schwachsinn her?
Die Gruppe ist sogar zyklisch. Was anderes wäre das semi-direkte Produkt $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5 \mathbb Z \rtimes \mathbb Z/7\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und gibt es weitere Dinge, die ich nur anhand der spärlichen Information der Gruppenordnung herausfinden könnte?

Ehrliche Antort: Beschäftige dich bitte zuerst mit den grundlagen, wie z.B.

Zitat:

da ich mir diesem direkten Produkt von zyklischen Gruppen noch nicht so zurecht komme

Zitat:

Also müsste G isomorph sein zu Z/35Z.
Und gibt es weitere Dinge, die ich nur anhand der spärlichen Information der Gruppenordnung herausfinden könnte?

Welche zusätzlichen Dinge würdest du denn noch gerne wissen wollen über G?

19.03.2014, 09:14

Che Netzer

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RE: Aussagen über Gruppe mit |G|=35

Zitat:

Original von Duude
Über die Sylowsätze habe ich schon herausgefunden, dass es genau eine Untergruppe der Ordnung 5 und genau eine Untergruppe der Ordnung 7 geben muss.

Und damit sind diese eindeutigen Sylow-Untergruppen Normalteiler und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ihr Produkt: $\begin{eqnarray*} G=\mathbb Z/5\mathbb Z\times\mathbb Z/7\mathbb Z=\mathbb Z/35\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und gibt es weitere Dinge, die ich nur anhand der spärlichen Information der Gruppenordnung herausfinden könnte?

Da kann ich mich nur Captain Kirk anschließen: Wenn du bereits weißt, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/35\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist – was willst du mehr?
Allgemein gehalten gibt es aber noch den Satz von Feit-Thompson: Gruppen ungerader Ordnung sind auflösbar.

19.03.2014, 16:00

Duude

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Danke für eure Antworten.

Zitat:

Die Gruppe ist sogar zyklisch. Was anderes wäre das semi-direkte Produkt $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5 \mathbb Z \rtimes \mathbb Z/7\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Ich hab mich mittlerweile ausführlicher damit beschäftigt.. wovon ich gelesen hatte, war das semidirekte Produkt und nicht das direkte, was ich hier haben wollte, das hatte ich übersehen..
Nach dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen ist jede endliche abelsche Gruppe isomorph zu einem direkten Produkt von zyklischen Gruppen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/m\mathbb Z\times\mathbb Z/n\mathbb Z \ldots \mathbb Z/s\mathbb Z\times\mathbb Z/t\mathbb Z \end{eqnarray*}$
Wenn m und n teilerfremd sind, gilt sogar $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/m\mathbb Z\times\mathbb Z/n\mathbb Z \cong \mathbb Z/mn\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Hier ist das der Fall da 5 und 7 Primzahlen sind (und unsere Gruppe ja abelsch ist), also gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5\mathbb Z\times\mathbb Z/7\mathbb Z \cong\mathbb Z/35\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Und ich weiß, dass meine Gruppe der Ordnung 35 isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/35\mathbb Z \end{eqnarray*}$ Sie ist also zyklisch und insbesondere abelsch.

Wie Che Netzer schon sagte, sind die Untergruppen Normalteiler, da es nur eine 5-Sylowgruppe bzw. nur eine 7-Sylowgruppe gibt und die Gruppe ist auflösbar (nach dem Satz von Feit und Thompson). Außerdem sind abelsche Gruppen ja immer auflösbar, da die Kommutatoruntergruppe 1 ist und die Faktorgruppe G/1=G abelsch ist. (würde also auch daraus folgen)

Ich bin jetzt schon ziemlich zufrieden, mit dem Herausgefundenen. Eine Sache würde ich mir gerne noch anschauen und das sind die Untergruppen dieser Gruppe. Dazu habe ich mir folgendes überlegt:

Nach dem Satz von Lagrange teilt die Untergruppenordnung stets die Gruppenordnung. Untergruppen sind also die beiden trivialen Untergruppen 1 und G und sonst nur noch eine Untergruppe der Ordnung 5 und eine der Ordnung 7 (also gerade die 5- und 7-Sylowgruppen).
Weitere Untergruppen sind nicht möglich. Alle Untergruppen sind natürlicherweise Normalteiler, da die Gruppe abelsch ist (hatten wir auch schon herausgefunden).

Mich interessiert noch, wie ich mir die Untergruppen vorzustellen habe. Wenn ich das richtig verstanden habe, müssen Sylowgruppen disjunkt sein (bis auf das neutrale Element natürlich), denn wäre ein anderes Element a sowohl in 7-Syl als auch in 5-Syl, so hätte es sowohl Ordnung 5 als auch 7 (da in einer zyklischen Gruppe jedes Element außer e die gesamte Gruppe erzeugt und damit Ordnung der Gruppe hat). Dies ist ein Widerspruch, also müssen die Sylowgruppen disjunkt sein. (analog funktionniert es, wenn es z.B. zwei 5-Sylgruppen gibt, wenn da ein Element ungleich e im Schnitt liegt, sind die Gruppen identisch)

In meiner Gruppe G habe ich also ein neutrales Element, dieses liegt in beiden Untergruppen, wobei diese jeweils noch 4 bzw. 6 weitere Elemente enthalten, welche verschieden sind. Alle anderen Elemente der Gruppe sind nur in der trivialen Untergruppe G.

Noch zur Übertragbarkeit auf andere Gruppen:
Diese Vorgehensweise müsste analog für alle Gruppen durchgehen, deren Ordnung sich aus zwei Primzahlen mit pq zusammensetzt, die die Bedingung für die abelsche Gruppe (siehe 1. Post) erfüllen. Wenn man zudem nicht gerade die Primzahl 2 wählt, ist das Produkt immer ungerade und die Gruppe ist nach dem Satz von Feit und Thompson auflösbar.

19.03.2014, 16:23

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Duude

Noch zur Übertragbarkeit auf andere Gruppen:
Diese Vorgehensweise müsste analog für alle Gruppen durchgehen, deren Ordnung sich aus zwei Primzahlen mit pq zusammensetzt, die die Bedingung für die abelsche Gruppe (siehe 1. Post) erfüllen. Wenn man zudem nicht gerade die Primzahl 2 wählt, ist das Produkt immer ungerade und die Gruppe ist nach dem Satz von Feit und Thompson auflösbar.

Nach dem Satz von Burnside ist eine Gruppe der Ordnung pq mit p,q prim immer auflösbar. Dabei kann p und/oder q auch 2 sein.

25.03.2014, 22:22

Reksilat

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Den Satz von Feit-Thompson sollte man nur zitieren, wenn es wirklich nicht anders geht und man auch wirklich sicher weiß, dass es nicht anders geht. Hier geht es mit Burnside bzw. den Sylowsätzen.
(Vgl. Redewendung "Mit Todessternen auf Spatzen schießen")

Gruß
Reksilat

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