Bedingte Wahrscheinlichkeit

19.03.2014, 14:48

Naryxus

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Hallo,

ich habe ein Problem bei einer Aufgabenstellung.
Es geht um die korrekte/fehlerhafte Authentifikation von berechtigten/unberechtigten Personen.

Wir haben insgesamt 940 Personen, von denen 10 nicht berechtigt sind.

Wir haben zwei Fehlerraten für das System gegeben:
1. Unberechtigter wird authentifiziert FAR = 0,29 %
2. Berechtigter wird abgewiesen FRR = 2,417 %

Wir sollen nun zwei Wahrscheinlichkeiten berechnen:

1. Eine Person die Zutritt erhalten hat, ist unberechtigt.

Ich habe zuerst einmal zwei Ereignisse definiert:
B: Person ist berechtigt und
Z: Zutritt gewährt

Im Prinzip suchen wir ja jetzt $\begin{eqnarray*} P(\overline{B} \mid Z) = \frac{P(\overline{B} \cap Z)}{P(Z)} \end{eqnarray*}$ oder?

Die obere Wahrscheinlichkeit beschreibt ja, dass ein nicht berechtigter Zutritt erhalten hat. Das müsste meiner Meinung nach der FAR-Wert sein. Helft mir bitte, wenn ich falsch liege.
Mein Problem ist hierbei aber auch die Wahrscheinlichkeit P(Z). Intuitiv hätte ich jetzt gesagt, dass $\begin{eqnarray*} P(Z) = 930 / 940 \end{eqnarray*}$ ist, da ich 930 berechtigte Personen habe, denen der Zutritt gewährt wird. Sicher bin ich mir aber nicht.

2. Eine Person, die keinen Zutritt erhalten hat, ist berechtigt.

Entsprechend suchen wir nun $\begin{eqnarray*} P(B \mid \overline{Z}) = \frac{P(B \cap \overline{Z})}{P(\overline{Z})} \end{eqnarray*}$ .
Dabei müsste analog die obere Wahrscheinlichkeit sein, dass ein berechtigter keinen Zutritt erhalten hat und damit der FRR-Wert ist.
Für die untere Wahrscheinlichkeit hätte ich gesagt, dass dies nun $\begin{eqnarray*} P(\overline{Z}) = 10 / 940 \end{eqnarray*}$ ist.

Könnt ihr mir sagen, ob meine Überlegungen richtig sind?

Wäre echt cool. Grüße Naryxus

19.03.2014, 15:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Naryxus
Im Prinzip suchen wir ja jetzt $\begin{eqnarray*} P(\overline{B} \mid Z) = \frac{P(\overline{B} \cap Z)}{P(Z)} \end{eqnarray*}$ oder?

Richtig.

Zitat:

Original von Naryxus
Die obere Wahrscheinlichkeit beschreibt ja, dass ein nicht berechtigter Zutritt erhalten hat.

Nein, es ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer Zutritt erhält und (zugleich) nicht berechtigt ist! Das ist was anderes als

Zitat:

Original von Naryxus
dass ein nicht berechtigter Zutritt erhalten hat. Das müsste meiner Meinung nach der FAR-Wert sein.

Jenes ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(Z \mid \overline{B}) \end{eqnarray*}$ .

Der Zusammenhang ist $\begin{eqnarray*} P(\overline{B} \cap Z) = P(Z \mid \overline{B})\cdot P(\overline{B}) \end{eqnarray*}$ .

Das alles läuft unter dem Stichwort "Bayessche Formel" - k.A., inwieweit dir das schon begegnet ist. Die klärt dann auch die Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(Z) \end{eqnarray*}$ , wo dich dein Intuition erneut getrogen hat.

19.03.2014, 15:46

Naryxus

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Danke für die Antwort! Stochastik war noch nie meine Stärke... verwirrt

Ja auch der Satz von Bayes ist mir schon über den Weg gelaufen.

Dann habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} P(\overline{B} \mid Z) = \frac{P(Z \mid \overline{B}) \cdot P(\overline{B})}{P(Z)} = \frac{P(Z \mid \overline{B}) \cdot P(\overline{B})}{P(Z \mid \overline{B}) \cdot P(\overline{B}) + P(Z \mid B) \cdot P(B)} \end{eqnarray*}$

Ich vermute dann ist jetzt $\begin{eqnarray*} P(B) = 930 / 940 \end{eqnarray*}$ und entsprechend $\begin{eqnarray*} P(\overline{B}) = 10 / 940 \end{eqnarray*}$ ?

Nun weiß ich aber wieder nicht, was $\begin{eqnarray*} P(Z \mid B) \end{eqnarray*}$ ist... Ich fürchte so einfach, dass es $\begin{eqnarray*} 1 - P(Z \mid \overline{B}) \end{eqnarray*}$ ist, ist es nicht...

Könntest du mir noch eine Hilfestellung geben?

19.03.2014, 17:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Naryxus
Ich vermute dann ist jetzt $\begin{eqnarray*} P(B) = 930 / 940 \end{eqnarray*}$ und entsprechend $\begin{eqnarray*} P(\overline{B}) = 10 / 940 \end{eqnarray*}$ ?

Ja.

Zitat:

Original von Naryxus
Nun weiß ich aber wieder nicht, was $\begin{eqnarray*} P(Z \mid B) \end{eqnarray*}$ ist... Ich fürchte so einfach, dass es $\begin{eqnarray*} 1 - P(Z \mid \overline{B}) \end{eqnarray*}$ ist

Nein, falsch geraten. Aus der Definition geht hervor, dass $\begin{eqnarray*} P(\cdot \mid B) \end{eqnarray*}$ auch wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, mit allen dessen Eigenschaften, so z.B. auch

$\begin{eqnarray*} P(Z \mid B) = 1-P(\overline{Z} \mid B) \end{eqnarray*}$ .

19.03.2014, 17:59

Naryxus

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Darauf wäre ich jetzt nicht gekommen... geschockt

Und $\begin{eqnarray*} P(\overline{Z} \mid B) \end{eqnarray*}$ ist nun der FRR-Wert?

19.03.2014, 18:45

HAL 9000

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Mit deinen Kürzeln kann ich wenig anfangen. Jedenfalls ist es die Wahrscheinlichkeit, dass ein Berechtigter abgewiesen wird - sollte doch logisch sein, dass dies die Gegenwahrscheinlichkeit zu "ein Berechtigter wird zugelassen" ist.

19.03.2014, 19:55

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{r||c|c||l} X & Berechtigt & nicht B & $\sum $ \\ \hline \hline Zugang & a & .00029 & b \\ \hline kein Z & 0.02417 & c & d\\ \hline \hline $\sum $ & 0.98946 & e & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Das ist meiner Meinung nach die korrekte Vierfeldtafel. Diese lässt sich nun ausfüllen.

Gesucht ist nun :

1.) $\begin{eqnarray*} p(nB|Z)=\frac {0.0029}{b} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} p(B|kZ)=\frac {0.02417}{d} \end{eqnarray*}$

19.03.2014, 20:05

HAL 9000

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Nun, ich deute die Einträge in der Vierfeldertafel mal so, dass du die gegensätzliche Auffassung vertrittst, dass mit

Zitat:

Original von Naryxus
1. Unberechtigter wird authentifiziert FAR = 0,29 %
2. Berechtigter wird abgewiesen FRR = 2,417 %

keine bedingten, sondern Wahrscheinlichkeiten von Durchschnitten gemeint sind - nur zu. Aber mach das doch bitte deutlich kenntlich, damit Naryxus nicht verwirrt wird.

19.03.2014, 20:21

Dopap

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ich hatte darüber auch nachgedacht, nur fällt der Unterschied im Text auf:

a.) Unberechtigter wird authentifiziert = $\begin{eqnarray*} p(nB \cap Z) \end{eqnarray*}$
b.)...

und den Fragen:

1.) Eine Person die Zutritt erhalten hat, ist unberechtigt.
2.)...
hier sehe ich eine Bedingung, um das für Naryxos deutlich zu machen.

Leider wieder Interpretationssache(?)

19.03.2014, 20:31

Naryxus

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Ich verstehe eure Problematik.

Leider sind das genau wörtlich die Definitionen, bzw. Aufgabenstellungen, die mir gegeben sind.

Ich werde da nochmal nachhaken.

19.03.2014, 20:34

Dopap

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du kannst ja mal kurz meine Version durchrechnen und damit dann nochmal nachhaken smile

20.03.2014, 09:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Naryxus
Ich verstehe eure Problematik.

Ich hab kein Problem, und bin mir sehr sicher, dass meine Auffassung stimmt. Aber Dopap vertritt eine andere, und nur darauf wollte ich deutlich hinweisen. Augenzwinkern

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