Sylowgruppen

19.03.2014, 18:10	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Sylowgruppen Hallo zusammen, ich habe noch ein wenig Unsicherheit bei den Sylowgruppen. Zum einen wenn ein Primfaktor in der Ordnung der Gruppe mehrfach auftritt und zum anderen grundsätzlich bei der Vorstellung, was Sylowgruppen tun, wo sie mir helfen und was sich unter anderen Voraussetzungen (z.B. abelsche Gruppe) ergibt. Daher möchte ich gerne ein Beispiel hier durchrechnen und freue mich über Feedback, ob ich das so alles richtig verstanden habe. Ich habe mir einfach mal die Gruppe G mit \|G\|= 225=20 ausgesucht. In der Vorlesung hatten wir folgenden Satz: Sei $\begin{eqnarray} G=p^{a}\cdot m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \geq 0 \end{eqnarray}$ und p teilt nicht m. Ist $\begin{eqnarray} 0 \leq i \leq a \end{eqnarray}$ so gibt es eine Untergruppe U von G mit $\begin{eqnarray} \|U\|=p^{i} \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray} Syl_p(G) \neq \{\} \end{eqnarray}$ Das heißt hier also es gibt Untergruppen der Ordnung 2, 4 und 5. Die Sylowgruppe ist die maximale p-Untergruppe, d.h. die Sylowgruppen wären hier die der Ordnung 4 und 5 (um das ganze auf ein schwierigeres Bsp zu übertragen: In einer Gruppe der Ordnung 222355 sind die Sylowgruppen dann die Gruppen der Ordnung 222, 3 und 55 und es gibt Untergruppen der Ordnung 2, 4, 8, 3, 5, und 25) Im zweiten Schritt geht es darum herauszufinden, wieviele p-Sylowgruppen es jeweils gibt. Betrachten wir also zuerst die 2-Sylgruppen, das sind also die Untergruppen der Ordnung 4: Es muss gelten $\begin{eqnarray} n_2\|5 \text{ und } n_2 \equiv 1 (mod 2) \Rightarrow n_2 \in \{1,5\} \end{eqnarray}$ . Es gibt also eine oder 5 2-Sylowgruppen. Betrachten wir nun die 5-Sylowgruppen, das sind die Untergruppen der Ordnung 5: Es muss gelten $\begin{eqnarray} n_5/4 \text{ und } n_5 \equiv 1 (mod 5) \Rightarrow n_5=1 \end{eqnarray}$ . Es gibt also eine 5-Sylowgruppe, nennen wir sie U. Diese ist ein Normalteiler, da es die einzige 5-Sylowgruppe ist und da p-Sylowgruppen untereinander konjugiert sind, ist diese 5-Sylgruppe konjugiert zu sich selbst, also ist U ein Normalteiler von G. U hat 5 Elemente. Da U eine p-Gruppe ist (mit p=5) muss die Ordnung jedes Elements eine p-Potenz sein. Also haben wir das neutrale Element (mit Potenz 0) und vier andere Elemente, die alle Ordnung $\begin{eqnarray} 5^1 \end{eqnarray}$ haben. Denn ein Element in einer Gruppe kann keine größere Ordnung haben, als die Gruppe selbst. Da Sylowgruppen disjunkt sind (bis auf das neutrale Element) bleiben und noch 12-5=7 Elemente (ungleich e), die wir auf die 2-Sylgruppen verteilen können. Von der Elementanzahl ist das beides möglich (jedes Mal bleiben aber noch Elemente übrig, die in keiner der Sylowgruppen sind..) Wie könnte ich hier weiter vorgehen, um festzustellen, ob ich eine oder 5 2-Sylgruppen habe? Hier noch meine weiteren Fragen: Ist es richtig, dass es nur p-Sylowgruppen gibt mit p prim? Dass ich hier also nur 2-Sylowgruppen und 5-Sylowgruppen finde und KEINE 4-Sylowgruppen? Das Vorgehen von oben, welches ich mit 2 und 5 durchgeführt habe, ist also nicht mehr mit 4 zu machen, wenn ich das richtig verstanden habe. Ist es richtig, dass wir Sylowgruppen berechnen, einfach weil wir sie durch die Sylowsätze ohne großen Aufwand bestimmen können? Es aber natürlich noch weitere Untergruppen (hier z.B. der Ordung 10) geben kann, deren Existenz nicht durch die Sylowsätze bestimmt wird? Oder gibt es einen besonderen Nutzen der Sylowuntergruppen? Was ändert sich unter zusätzlichen Annahmen? z.B. Einfachheit der Gruppe Unter zusätzlichen Annahmen ändern sich ja jeweils die Resultate, die ich erhalte: Nehme ich z.B. an, dass die Gruppe einfach ist folgt daraus, dass es 5 2-Sylowgruppen gäbe, da eine zu einem nichttrivialen Normalteiler führen würde --> ein Widerspruch zu einfach. Zudem würde ich hier keine 5-Sylowgruppe erhalten, was ein Widerspruch zu unserem Satz in der Vorlesung ist. Daraus folgt, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung 20 geben kann. Inwiefern ergibt sich eine Vereinfachung/Veränderung, wenn ich annehme, dass die Gruppe abelsch ist? Abelsche Gruppen der Ordnung 20 sind nach dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen bis auf Isomorphie $\begin{eqnarray} \mathbb Z/10\mathbb Z\times\mathbb Z/2 \end{eqnarray}$ . sowie $\begin{eqnarray} \mathbb Z/20\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Wie bringe ich das mit den schon herausgefundenen Sylowgruppen in Einklang? Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel und freue mich über Rückmeldungen. lg Duude
09.04.2014, 09:35	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, ich möchte meinen Thread von ein paar Wochen nochmals aufgreifen, weil sich mittlerweile zwar schon einige Probleme gelöst haben, andere aber noch bestehen. (ihr braucht nicht unbedingt den langen ersten Eintrag zu lesen) Ich freue mich auch über eine kurze Antwort Mein Hauptproblem besteht gerade hier: Angenommen ich habe eine Gruppe der Ordnung 222*5. Nach den Sylowsätzen: Habe ich dann eine Untergruppe der Ordnung 2 und 4 und 8 (und natürlich der Ordnung 5)? Oder habe ich eine Untergruppe der Ordnung 2 oder 4 oder 8 (und natürlich der Ordnung 5)? Ich hatte den Satz mit "und" gelesen, glaube aber ein Beispiel gefunden zu haben, bei dem "oder" gilt. lg Duude
09.04.2014, 12:45	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde jetzt nicht direkt alles beantworten, aber mal ein paar Hinweise: - Es gibt tatsächlich zu jeder kleineren Potenz mind. eine Untergruppe, d.h. in deinem Fall 2,4 und 8. - Es gibt nicht die Gruppe mit 20 Elementen. Daher kannst du auch nicht herausfinden, ob es eine oder 5 2-Sylowgruppen gibt. Es gibt Gruppen mit nur einer (das sind die abelschen) und die mit mehreren (Das sind die nichtabelschen). - Die Sylowsätze auf abelsche Gruppen anzuwenden ist ein bisschen sinnlos. Die sind nämlich durch den Struktursatz schon vollständig klassifiziert, sowohl in ihrem Isomorphietyp als auch in ihrer Untergruppenstruktur.

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