Wie wahrscheinlich ist eine Allin Ergebnis beim Poker

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MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wahrscheinlich ist eine Allin Ergebnis beim Poker
Hallo zusammen,

folgendes Problem Nr1 .

Von z.B. n = 100 Allin Entscheidungen beim Poker habe ich einen Erwartungswert p = 0,60. Ich sollte also 60 von 100 Mal gewinnen. Tatsächlich gewinne ich aber nur 50 Entscheidungen.

Nun möchte ich ein Testverfahren aufbauen, wie wahrscheinlich mein tatsächliches Ergebnis ist. Dafür nutze ich aktuell die Binomialverteilung.

P(X = k) = b(k; n, p)

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also:

P = b(50;100;0,6) = ExcelBINOMVERT(50;100;0,6;FALSCH) = 0,010337511

Die Summe aller P sollte ja immer 1 ergeben. Nun kann ich von 1 bis 100 alle Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und erhalte im Koordinatensystem die Glockenkurve und kann dort das den tatsächlichen Wert eintragen, der vermutlich links vom höchsten Wert (Erwartungswert) liegt.

Das Problem ist, ich kann ein Allin gewinnen, verlieren oder es gibt einen Split. Nun sind einige der Meinung ich sollte die Hälfte der Splits als Gewinn verbuchen und könnte dann die Binomialverteilung verwenden.

Kann ich mein Vorhaben so umsetzen?

*******

Problem Nr.2 wäre, das ganze als PHP Formel aufzubauen. Für kleine Werte kein Problem, größere Werte werden den Arbeitsspeicher des Servers außer Gefecht setzen, da (n k) sehr groß werden kann. Ich habe z.B. n = 10500 Versuche die ich berechnen möchte. Auch dafür hätte ich 2 Lösungen.

Bis n = 2222 habe ich folgendes gefunden: LINK

Ganz am Ende gibt es einen Link zum PHP Source Code.

Für n > 2222 müsste ich über eine Annäherung nachdenken. Dazu habe ich folgendes gefunden: LINK

Wie genau wäre die letzte Methode, bzw. kann ich einen Fehlerquotienten errechnen?

*******
Eigentlich interessieren mich für P immer nur 4 Nachkommastellen und Werte die > 0,0001 liegen. Ich möchte ein approx. Testverfahren entwickeln und die Glockenkurve einigermaßen genau darstellen können.

Brauche ich wirklich alle Werte für eine approx. Darstellung der Glockenkurve und dem tatsächlichen Ergebnis?

Ich wäre dankbar für einige Denkanstöße, wie ich mein Testverfahren am sinnvollsten umsetzen kann. In Excel klappt das alles, mir geht es aber darum die Werte auf einem Server in die Datenbank zu schreiben, damit ich eine HTML5 Kurve zeichnen und online darstellen kann.

Bitte entschuldigt meine Ausdrucksweisen. Ich bringe mir diese Sachen selber bei und die Schul-Mathematik liegt lange zurück.

Gruss
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Problem 1:

Ich versteh das Poker-Chinesisch nicht, konnte aus deinem Beitrag nur soviel entziffern, dass es sowas wie ein Allin (oder "all in") gibt, was man gewinnen oder verlieren kann, oder aber das gesplittet wird. Bei (anscheinend voneinander unabhängigen) solchen Allins hast du abschließend (zufällige) Anzahlen von Gewinnen, Split, Verlusten, die zusammen ergeben.

In welcher Weise willst du jetzt hier die Binomialverteilung verwenden? Die richtet sich primär an Fragestellungen, wo der Einzelversuch nur zwei mögliche Ausgänge hat. Bei drei Ausgängen wie hier liegt ja eher eine Multinomialverteilung vor.
MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke für dein Interesse mir zu helfen.

Ein "Allin" beim No Limit Texas Holdem Poker bedeutet, ich schiebe mein ganzes Geld in die Mitte und bin mir eigentlich sicher die Beste Hand zu halten. Wenn ich einen Gegner habe und dieser ebenfalls davon überzeugt ist die beste Hand zu halten, kann dieser auch "Alin gehen".

Nun decken beide Spieler Ihre jeweils 2 Startkarten auf und die Kombination mit den 3/4 oder 5 Tisch-Karten bilden die jeweilige Hand-stärke.

Nehmen wir an es liegen die ersten 3 Karten auf dem Tisch (Flop) und es folgen noch 2 weitere Karten (Turn/River), die die Hand-stärke der Spieler verbessern kann. Dann kann sich das Spiel noch zu Gunsten des vermeidlichen Verlierers, der nur 20% Gewinnchance hat, ändern.

- Spieler A hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 80% zum Zeitpunkt des Allins
- Spieler B hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 20% zum Zeitpunkt des Allins
- Am Ende des Spieles ist Spieler B der Gewinner!

Bezogen auf einen Spieler den ich prüfe, kann ein Allin nun gewonnen, verloren oder unentschieden ausgehen.

***

Nun zu meinem Test. Ich prüfe nun alle Allins eines Spielers, die eine Gewinnwahrscheinlichkeit von >50% zum Zeitpunkt des Allins aufweisen.

Gefunden habe ich: 1410
Davon gewonnen: 1163
Davon unentschieden: 29

Im Schnitt sollte ich in 84,64% der Fälle das Allin gewinnen (Erwartungswert). Tatsächlich habe ich aber nur 83,55% der Fälle gewonnen (1163+(AUFRUNDEN 29/2))/1419 = 0,8355. Um die Binomialverteilung nutzen zu können, habe ich einfach die Hälfte der unentschieden als Gewinn deklariert.

Rechne ich mir nun für n = 1410 alle Prozentwerte mit p = 0,8464 und k = 1 bis k = 1410 aus, kann ich die Glockenkurve erstellen und dort den Wert für 1178 Gewinne abtragen. Es geht mir also um einen Test mit dessen Hilfe ich sehen kann, wie wahrscheinlich das eintreten der tatsächlichen Gewinne ist, ob ich eher Glück oder Pech hatte bzw. ob das Ergebnis mathematisch gesehen eigentlich extrem unwahrscheinlich ist.

Dürfte dann so aussehen wie im angehängten Bild. Nun die Frage: Wäre dieser Test gültig? Gibt es andere Werte, die Aufschluss über das Ergebnis geben könnten...
MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einmal zusammengefasst:

- Ich habe n = 1410 unabhängige Spiele oder Entscheidungen.
- Ich kann gewinnen, verlieren oder ein unentschieden erreichen.
- Der Erwartungswert für einen Gewinn beträgt p = 0,8464.
- Anzahl der tatsächlich eingetreten Gewinne über n Entscheidungen beträgt 1163.
- Anzahl der tatsächlich eingetreten Unentschieden über n Entscheidungen beträgt 29.

Ich möchte eine Glockenkurve zeichnen und dort das tatsächlich erreichte Ergebnis eintragen um zu sehen ob das tatsächlich erreichte Ergebnis mathematisch gesehen eher glücklich oder unglücklich ist bzw. ob das Ergebnis mathematisch im Bereich des möglichen liegt.

Aktuell verwende ich die Binomialverteilung und bin wie folgt vorgegangen:

1) Für jede Entscheidung aus n = 1410 habe ich eine zu erwartende Gewinnwahrscheinlichkeit:
- Entscheidung 1 hat eine Gewinnchance von z.B. p = 0,4
- Entscheidung 2 hat eine Gewinnchance von z.B. p = 0,6
...
- Entscheidung 1410 hat eine Gewinnchance von z.B. p = 0,8

Die Summe p aller Entscheidungen teile ich nun durch die Anzahl der Versuche n und erhalte einen Erwartungswert von p = 0,8464. Ich sollte also in 84,64% der Fälle gewinnen.

3) Für die Werte meiner Glockenkurve rechne ich nun mit der Binomialverteilung (aktuell in Excel):
=BINOMVERT(1;1410;0,8464;FALSCH)
=BINOMVERT(2;1410;0,8464;FALSCH)
...
=BINOMVERT(1410;1410;0,8464;FALSCH)

Nun kann ich die Glockenkurve anhand dieser Werte zeichnen (siehe Bild oben).

4) Hier trage ich nun den Wert der tatsächlichen Gewinne ab (siehe Bild oben). Tatsächlich gewonnen habe ich 1163 + 15 = 1178 (die Hälfte der Unentschieden - aufgerundet - habe ich addiert). Liegt der Wert links vom Erwartungswert, hatte ich eher Pech, rechts eher Glück. Liegt der Wert sehr weit links oder rechts, ist das Ergebnis mathematisch gesehen eher unwahrscheinlich und dürfte so nicht eintreten.

Nun zu meinen anfänglichen Fragen.
Ist dieser Test aus mathematischer Sicht sinnvoll?
Verfälsche ich das Ergebnis durch die Annahme, dass ich die Hälfte der unentschieden als Gewinn deklariere?
Welche weiteren Werte könnten Aufschluss über die Güte des erreichten Ergebnisses geben bzw. wie könnte ich das Testverfahren besser aufbauen?
MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich niemand? Ist die Frage zu speziell, zu schlecht erklärt oder zu uninteressant? Gebe gerne mehr Informationen, falls erforderlich.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Der Einwand von Hal900 gilt nach wie vor:
Für eine Binomialverteilung muss der Einzelversuch zwei mögliche Ausgänge haben.
Deiner hat drei.
Ferner muss bei jedem Versuch die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich sein, auch das ist hier definitiv nicht der Fall.

Hier Binomialverteilung anzunehmen ist nicht sinnvoll.

Mal ganz abgesehen davon, der Grund (prozentual) viele All-in's zu gewinnen können auch anderer Natur sein:
Was passiert denn wenn alle anderen folden?
 
 
MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kirk,

bedeutet das:

a) Kann man so machen, entspricht aber nicht den Vorgaben der Binomialverteilung
b) Die Binomialverteilung darf hier nicht angewendet werden

Für alle Entscheidungen wo ich alleine "Allin" gehe und niemand gegen mich spielt (alle schmeißen die Karten weg bzw. folden), habe ich p = 1 gesetzt. Denn gewinnen werde ich in diesem Fall immer.

Darf ich die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit nicht als p annehmen?

Gibt es eine Möglichkeit die Kurve wie beschrieben zu erstellen bzw. welche andere Möglichkeit hätte ich?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Spass,

c) Binomialverteilung kann hier nicht angewendet werden.

Zitat:
Darf ich die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit nicht als p annehmen?

Du darfst schon. Es bringt nur überhaupt nichts. Allein der Begriff einer durchschnittlichen Gewinnw. macht imho hier gar keinen Sinn.

Zitat:
Gibt es eine Möglichkeit die Kurve wie beschrieben zu erstellen bzw. welche andere Möglichkeit hätte ich?

Du eigentliche Frage ist: Was willst du eigentlich rausfinden?
MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »

Für jede Entscheidung habe ich eine Gewinnwahrscheinlichkeit, der Ausgang kann sich aber ggf. noch so ändern, dass der Spieler mit p = 0,2 Gewinnwahrscheinlichkeit gewinnen kann.

Ich kann also gewinnen, verlieren oder unentschieden spielen, unabhängig von p. Wenn p = 1 ist, dann gewinne ich auf jeden Fall, da die anderen Spieler p = 0 halten. Ich halte also die beste Hand und die anderen können sich nicht mehr verbessern um mich zu schlagen.

Ich möchte nun z.B. für alle Entscheidungen wo ich p > 0,5 halte sehen, ob diese auch annähernd den Erwartungen entsprechend. Ich möchte eine grafische Darstellung wie in meiner Abbildung erstellen.

Angenommen ich habe 3 Entscheidungen und in allen 3 Entscheidungen habe ich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von p = 0,8. Dann sollte ich in 80% der Fälle gewinnen. Das wäre normal. Gewinne ich aber nur 2 Entscheidungen und verliere eine, habe ich eine tatsächliche Gewinnwahrscheinlichkeit von p = 0,66. Ich gewinne also nur 66% der Zeit.

Für 3 Entscheidungen bekomme ich natürlich keine anständige Auswertung. Ist nur ein Beispiel. Für meine Auswertung habe ich sehr viel mehr Entscheidungen, wie weiter oben anhand eines Beispieles erwähnt. Sieht dann so aus:

1 Entscheidung: p = 0,6 (Gewonnen)
2 Entscheidung: p = 0,7 (Verloren)
3 Entscheidung: p = 0,8 (Unentschieden)
...usw

Sollte für die ersten 3 Entscheidungen nicht (0,6+0,7+0,8)/3 = 0,7 eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 70% haben?

Anhand der Glockenkurve möchte ich also sehen, in welchem Bereich das tatsächliche Ergebnis liegt. Hatte ich eher Glück oder Pech mit meinen tatsächlichen Ergebnissen.

Mir ist klar, daß ich 3 Mögliche Ausgänge habe (gewonnen, verloren, unentschieden). Den Vorschlag den mir einige Mathe-Gurus aus dem Poker-Bereich gemacht haben ist, die Hälfte der unentschieden als Gewinn zu verbuchen und die Binomialverteilung anzuwenden. So richtig sicher über die Richtigkeit der Auswertung waren die Jungs sich aber nicht. Daher möchte ich nun gerne eure Meinung hören und einen Ansatz für die richtige Berechnung finden.
MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »

Frage ist also: Zu welchem Prozentsatz sollte ich gewinnen, zu welchem habe ich tatsächlich gewonnen...hatte ich Glück oder Pech?
captain kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Vorschlag:
Berechne den "Erwartungswert" deiner Hände:
Zähle alle einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten zusammen, nennen wir die Zahl E.
Ist die Anzahl der gewonnen Spiele (zähle unentschieden als 1/2), nennen wir's G, größer als die Zahl E, so hattest du Glück, sonst hattest du Pech.
Willst du noch ein qualitatives maß für dein "Glück":
(E-G)/n
(n ist die Anzahl der gespielten Hände)


Zitat:
Mir ist klar, daß ich 3 Mögliche Ausgänge habe (gewonnen, verloren, unentschieden). Den Vorschlag den mir einige Mathe-Gurus aus dem Poker-Bereich gemacht haben ist, die Hälfte der unentschieden als Gewinn zu verbuchen und die Binomialverteilung anzuwenden.

Ich zweifle ernsthaft deren Guruhaftigkeit an. Wie ich schon schrieb: Das hier ist selbst unter der Zusatzannahme nicht binomialverteilt. Ebensowenig sehe ich was hier die Standardnormalverteilung (Glockenkurve) hier reinspielen soll.
MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das habe ich ja gemacht (siehe weiter oben).

Vorschlag:
Was wäre, wenn ich alle Entscheidungen die unentschieden ausgegangen sind einfach entfernen würde? Könnte ich meinen Test dann wie beschrieben durchführen?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Genau das habe ich ja gemacht (siehe weiter oben).

Ich bin mir ziemlich sicher, dass du nirgends genau das gemacht hast. Evtl. was Ähnliches.

Zitat:
Vorschlag: Was wäre, wenn ich alle Entscheidungen die unentschieden ausgegangen sind einfach entfernen würde? Könnte ich meinen Test dann wie beschrieben durchführen?

Nein. Und das schrieb ich bereits im letzten Post. Und davor auch schonmal.
In jedem Versuch(Hand) ändert sich die Gewinnwahrscheinlichkeit. Für die Binomialwahrscheinlichkeit muss diese Gewinnwahrscheinlichkeit immer gleich sein.
MatheMachtSpass Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, ich habe noch durch die Anzahl der Entscheidungen geteilt. Erstmal danke für deine Hilfe. Würde gerne versuchen ein aussagekräftigeres Testverfahren zu erhalten, wenn dieses überhaupt möglich ist. Mal sehen...Gruss
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