Polynom irreduzibel in Q[X] --> irreduzibel in Z[X]?

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom irreduzibel in Q[X] --> irreduzibel in Z[X]?
Hallo zusammen,

ich frage mich, ob folgende Aussage gilt: Ein Polynom ist irreduzibel über Z[X] genau dann, wenn es über Q[X] irreduzibel ist.

Aus f irreduzibel über Z[X] folgt nach dem Satz von Gauß, dass f auch irreduzibel über Q[X] ist. (was man so nicht direkt sehen würde)

Die Umkehrung scheint mir aber trivial:
denn: wenn ein Polynom irreduzibel ist über Q(X), dann heißt das ja, dass ich kein Polynom (mit rationalen Koeffizienten) finde, welches ein "Teiler" von f ist. Insbesondere gibt es dann aber ja auch kein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, da ja Z eine Teilmenge von Q ist, oder?

Wir hatten das nirgends erwähnt, deshalb bin ich mir unsicher, ob das so gilt.

lg Duude
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom irreduzibel in Q[X] --> irreduzibel in Z[X]?
ja, es ist trivial.
lg
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

na wunderbar, danke smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.



Irreduzibel über , reduzibel über .
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
@mulder: kann das sein, dass du was anderes meinst?
2x+2=2(x+1) ist doch reduzibel über Z und Q, wenn man 2 als polynom 0.grades auffasst.
Richtig wäre f=2x+1=2(x+1/2) , das wäre dann irreduzibel über Z und reduzibel über Q,
oder wie meinst du das?
gruss ollie3
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wikipedia: Definition allgemein für Integritätsringe

f ist dann irreduzibel, wenn in jeder Zerlegung f=g*h entweder g oder h eine Einheit ist. Weder x+1 noch 2 sind Einheiten in Z[X].

In Q[X] ist 2 aber eine Einheit.

Zitat:
Richtig wäre f=2x+1=2(x+1/2) , das wäre dann irreduzibel über Z und reduzibel über Q,

Sicher nicht, das würde ja dem Lemma von Gauß widersprechen.

Über Körpern (also auch über Q) ist jedes Polynom vom Grad 1 irreduzibel, das gilt auch für f=2x+1.
 
 
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das tut mir leid unglücklich
danke mulder für die klarstellung!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom irreduzibel in Q[X] --> irreduzibel in Z[X]?
Zur eigentlichen Frage:
Zitat:
Original von Duude
ich frage mich, ob folgende Aussage gilt: Ein Polynom ist irreduzibel über Z[X] genau dann, wenn es über Q[X] irreduzibel ist.

Das gilt, wenn das Polynom in primitiv ist.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die vielen Beiträge smile

Ich sehe das Problem.. Die gefragte Folgerung geht schief aufgrund folgenden Gegenbeispiels:

Zitat:
Irreduzibel über , reduzibel über .


Die Argumentation aus meinem Anfangspost geht schief, da die Einheitenmengen und damit die irreduziblen Elemente verschieden sind. Es gilt: und , da Q ein Körper ist, Z aber nicht. Also gibt es in Z die Zerlegung 2(x+1), da weder 2 noch (x-1) Einheiten sind. In Q hingegen gibt es diese Zerlegung nicht, da 2 eine Einheit ist, also ist das Polynom dort irreduzibel.

Zitat:
Das gilt, wenn das Polynom in primitiv ist.

Klar, denn dann gibt es keine Nichteinheit a, die ich ausklammern könnte (so wie hier die 2). Wir schließen also alle potenziellen Gegenbeispiele mit der Forderung primitiv aus.

Dann müsste ich auf genau dieselbe Art folgende Folgerung widerlegen können:

Sei f irreduzibel über . Dann ist f auch irreduzibel über . Es sind sowohl die reellen als auch die rationalen Zahlen ein Körper, allerdings ist die Einheitenmenge trotzdem verschieden.
Also ist reduzibel in Q, denn sowohl als auch (x+1) sind keine Einheiten in Q, allerdings ist eine Einheit in R, weshalb f in R irreduzibel ist.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Also ist reduzibel in Q [...]

???



Wenn das Polynom gar nicht in diesem Polynomring liegt, wie willst du dann von reduzibel oder irreduzibel sprechen?
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

oh.. ja das habe ich vollkommen übersehen..

Das heißt um ein Gegenbeispiel wie oben zu finden, brauche ich eine Zahl die sowohl in R, als auch in Q liegt, in R eine Einheit ist und in Q keine.

Es gibt keine solche Zahl, denn und in Q sind alle Zahlen außer der 0 invertierbar.

Wenn ich aber kein solches Gegenbeispiel finde, müsste die Argumentation wie im ersten Post durchgehen und die Folgerung gilt:

Ist f irreduzibel über . Dann ist f auch irreduzibel über

Oder was meint ihr?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Sofern wir von Polynom mit rationalen Koeffizienten sprechen: Sicher. Wenn man das Polynom schon in R nicht zerlegen kann, dann auch nicht in Q. Du kannst es auch mit Kontraposition betrachten. Ist f reduzibel in Q, dann sicher auch in R, denn die Zerlegung, die man in Q gefunden hat, existiert trivialerweise auch in R. Irreduziblität in R ist also hinreichend für Irreduzibilität in Q.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar smile
Dankeschön
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