Vergleich der Determinanten zweier Korrelationsmatrizen

Neue Frage »

Tarbos Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleich der Determinanten zweier Korrelationsmatrizen
Meine Frage:
Hallo.
Ich habe zwei symmetrische, positiv definite Korrelationsmatrizen und .
Für beide Matrizen gilt für die Elemente der Hauptdiagonale und für alle anderen (bzw. ).
Zudem gilt für alle .
Ich bin der Meinung, dass sich daraus ergibt.

(Falls jemand es genauer wissen möchte: es gilt und die äquivalente Gleichung für B mit und konstant und reell)


Meine Ideen:
Ich habe überlegt dieses Problem durch Induktion zu lösen und im Induktionsbeweis als Blockmatrix zu schreiben

mit einem n-dimensionalen Vektor a,
sodass

gilt.
Dann müsste gezeigt werden, wobei und für jede Komponente von a und b gilt.

Und hier ist der Punkt an dem ich nicht weiterkomme.
Ich hoffe es kann mir jemand helfen oder hat noch eine andere Idee...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn mit n=1 und ? Da gilt die Behauptung ja schon mal nicht.
miamaeuschen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Induktion mit n=2 angefangen. Der Fall n=1 ist für mein Problem auch unsinnig, aber das hätte ich auch definieren können... Also n>1
Wenn ein größer gleich statt größer rauskommt bin ich auch zufrieden Augenzwinkern






(Sorry wegen dem neuen Nutzername, hatte komischerweise noch ein altes Profil, was ich vergessen habe)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Viellecht könnte es so gehen:



Dann ist mit

Also.

Wenn du das jetzt nochmal für aufschreibst, solltest du sehen, warum ist.


Edit: So ein Mist. Ich sehe gerade, dass du ja zeigen wolltest. Vielleicht kann man den Beweis ähnlich führen wie das, was ich gezeigt habe?
miamaeuschen Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhh soweit war ich auch schon, aber hab es nicht geschafft daraus die Gleichung für die Inverse abzuleiten...

Trotzdem schonmal danke fürs drübernachdenken smile
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte deine Vermutung ist falsch.
Ich habe gerade mal mit Matlab einfach derartige Matrizen (5 x 5) erstellt (mit den Eigenschaften: Diagonale jeweils identisch 1, 1 > a_ij > b_ij > 0 sonst) und es gibt vereinzelt Matrizen A, welche eine größere Determinante als jene von B aufweisen. Allerdings ergibt sich aus deinen Bedingungen noch eine Symmetrie von A und B, diese habe ich nicht berücksichtigt.
 
 
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das ganze für die Bedingung "symmetrisch" wiederholt und dennoch: Es existieren Matrizen A und B mit allen von dir genannten Eigenschaften für welche det A > det B ist.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mal ein Beispiel aufschreiben?
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür muss ich den Code ändern, dauert n paar Minuten, moment
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

A:

1.0000 0.7560 0.6052 0.4221 0.6266
0.7560 1.0000 0.5836 0.5139 0.4467
0.6052 0.5836 1.0000 0.7495 0.5045
0.4221 0.5139 0.7495 1.0000 0.7724
0.6266 0.4467 0.5045 0.7724 1.0000

B:

1.0000 0.6622 0.4620 0.1534 0.2465
0.6622 1.0000 0.1936 0.1495 0.1543
0.4620 0.1936 1.0000 0.7078 0.0515
0.1534 0.1495 0.7078 1.0000 0.6279
0.2465 0.1543 0.0515 0.6279 1.0000

Ergibt bei mir für det(A) - det(B) = 0.0234 -> det(A) > det(B) (sofern ich meinen matlabvektor richtig abgezählt hab^^)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Determinanten scheint zu stimmen (laut Wolframalpha): det(A) und det(B).

Ich muss dich jetzt leider trotzdem enttäuschen: miamaeuschen hatte geschrieben, dass die Matrizen positiv definit sein sollen. Bei B ist das aber nicht der Fall, wie man an den Eigenwerten von B sieht.
A ist positiv definit: Eigenwerte.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, das tut mir leid, das hatte ich trotz mehrfachen lesen immer übersehen oO
Hoffe ich habe niemanden verunsichert^^
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nun auch die positive Definitheit als Kriterium mit reingenommen und habe Matrizen gefunden, für welche die Vermutung falsch ist:

A:
1.0000 0.4669 0.1604 0.3462 0.5298
0.4669 1.0000 0.2843 0.2341 0.3951
0.1604 0.2843 1.0000 0.3115 0.7198
0.3462 0.2341 0.3115 1.0000 0.7458
0.5298 0.3951 0.7198 0.7458 1.0000

B:
1.0000 0.3277 0.0334 0.0092 0.2380
0.3277 1.0000 0.2784 0.2323 0.2863
0.0334 0.2784 1.0000 0.0573 0.6652
0.0092 0.2323 0.0573 1.0000 0.7231
0.2380 0.2863 0.6652 0.7231 1.0000

det(A) = 0.0660
det(B) = 0.0196

Eigenwerte von A:
0.0698
0.4768
0.7467
0.9716
2.7352

Eigenwerte von B:

0.0124
0.6608
0.9382
1.1303
2.2583

Sollte ich jetzt wieder was übersehen haben werde ich mich weiterhin enthalten, damit ich nicht den ganzen Thread zumülle.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Scheint dieses Mal zu stimmen, Wolfram hat sein OK gegeben. Big Laugh
miamaeuschen Auf diesen Beitrag antworten »

Nun das ist ein bisschen deprimierend.

Ich habe immer nur mit Matrizen aus zufälligen Werten, die aber über die Korrelationsfunktion erzeugt werden, gerechnet und da funktioniert es immer.

Das heißt, ich müsste die Eigenschaften der Korrelationsfunktion mit reinbringen...

Denn und mit und beliebig aber bei beiden Matrizen gleich (dh. ) konstante Abstände auf der x-Achse).

(hatte ich ja schonmal kurz in einer Klammer erwähnt)
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »