Wahrscheinlichkeit/Erwartungswert |
24.03.2014, 15:44 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wahrscheinlichkeit/Erwartungswert a) Der Würfel wird dreimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: "Die Sechs fällt genau zweimal" B: "Die Sechs fällt höchstens einmal" C: "Die Sechs fällt mindestens einmal" b) Moritz darf den Würfel für einen Einsatz von 1 Euro zweimal werfen. Er hat gewonnen, wenn die Augensumme 3 beträgt oder wenn zwei Sechsen fallen. Er erhält dann 3 Euro Auszahlung. Ist das Spiel für Moritz günstig ? c) Heino darf für einen Einsatz von 6 Euro dreimal würfeln. Bei jeder Zwei, die dabei fällt, erhält er eine Sofortauszahlung von a Euro. Für welchen Wert von a ist dieses Spiel fair? [attach]33714[/attach] Idee: Erstmal zu a) A: 2/6 * 2/6 B: 2/6 C: Leider kenne ich die Zeichnen nicht von D, E und F. Vielen Dank |
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24.03.2014, 21:00 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wahrscheinlichkeit/Erwartungswert Beginnen wir nochmal bei a) 1) Baumdiagramm hilft ... oder 2) Aufschreiben der Ergebnisse Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist 1/3. Die Wahrscheinlichkeit für keine 6 ist 2/3. Dreimal werfen und 2x eine 6: (N bedeutet NichtSechs.) 66N 6N6 N66 Jetzt die Einzelwahrscheinlichkeiten je Pfad multiplizieren. |
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24.03.2014, 21:05 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuche es mal: Die Wahrscheinlichkeit eine sechs zu kriegen, beträgt 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass die sechs genau zweimal fällt, beträgt 66,7 %. so hier ? |
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24.03.2014, 21:13 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bedenke, Du bewegst Dich anhand eines Pfades ! Multiplikation entlag eines Pfades! Ich zeige Dir mal einen Pfad für 3x würfeln: 66N ... 1/3 * 1/3 * 2/3 = 2/27 Jetzt die anderen Pfade: 6N6 ..... N66 .... Zeichne Dir am besten ein Baumdiagramm dazu ! |
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24.03.2014, 21:19 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann müsste es so aussehen: so ? |
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24.03.2014, 21:28 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie wäre es, wenn Du einfach mal meinem Vorschlag folgst ? A: "Die Sechs fällt genau zweimal" Baumdiagramm gezeichnet ? Wahrscheinlichkeit für den 1. Pfad: 2/27 Wahrscheinlichkeit für den 2. Pfad: ... ? Wahrscheinlichkeit für den 3. Pfad: ... ? ----------------------- Regeln: 1) Entlang des Pfades wird multipliziert. 2) Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden addiert. |
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24.03.2014, 21:33 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mach ich doch die ganze Zeit. Und ein Baumdiagramm habe ich schon zu Beginn gezeichnet. Jetzt muss es aber stimmen, sonst weiß ich auch nicht weiter. |
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24.03.2014, 21:42 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
JA, jetzt sieht es besser aus. Nun noch P(E) berechnen. --------------------- Jetzt zu: B: "Die Sechs fällt höchstens einmal" Schreib mal die Pfade auf. Ich fange mal an: 1) 6NN 2) ... 3) ... 4) ... |
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24.03.2014, 21:47 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1) 6NN 2) N6N 3) NN6 4) NNN so? |
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24.03.2014, 21:52 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrekt. -------------------- C: "Die Sechs fällt mindestens einmal" Hier würde ich mit der Gegenwahrscheinlichkeit arbeiten ... Was ist Deine Idee ? ------------------- (Übrigens, das |E|/|Omega| kannst Du weglassen.) |
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24.03.2014, 22:01 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe zwei Ideen: Entweder rechne ich das mühsam aus. 1) 666 2) 66N 3) 6NN 4) 6N6 5) N6N 6) N66 7) NN6 Oder ich versuche irgendwie eine Gleichung aufzustellen, welches mir die Lösung angibt: |
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24.03.2014, 22:15 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Pfade aufschreiben ...Wenn Du diese Lösung wählst, so gehe systematisch vor. 666 66N 6N6 N66 6NN N6N NN6 Einfacher: Gegenwahrscheinlichkiet -> KEINE 6 -> P(Nicht E) NNN ------------- P(E) ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der ganz oben aufgeschriebenen Pfade. P(Nicht E) ist die Wahrscheinlichkeit, dass KEINE 6 fällt. |
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24.03.2014, 22:22 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider kann ich die Gleichung nicht nachvollziehen.
Ich würde die Gleichung verstehen, wenn P(E) beschreibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine sechs zu bekommen. Wenn das zutrifft, verstehe ich wiederum nicht, wie man mit dieser Gleichung auf das Resultat kommt. |
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24.03.2014, 22:30 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Verständnis: 1) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ALLER Pfade (in Deinem Baumdiagramm) ergeben 1. 2) Die Wahrscheinlichkeiten von 666 66N 6N6 N66 6NN N6N NN6 PLUS NNN ergibt 1. Frage dazu ? |
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24.03.2014, 22:35 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt kann ich die Gleichung nachvollziehen. Vielen Dank, was neues dazu gelernt. Dann müsste die Gleichung, so aussehen oder? |
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24.03.2014, 22:39 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super. --------------------------------------- b) Moritz darf den Würfel für einen Einsatz von 1 Euro zweimal werfen. Er hat gewonnen, wenn die Augensumme 3 beträgt oder wenn zwei Sechsen fallen. Er erhält dann 3 Euro Auszahlung. Ist das Spiel für Moritz günstig ? Kennst Du die Formel vom Erwartungswert ? (Es reicht ein ja oder nein.) |
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24.03.2014, 22:42 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Ich kenne die Formel nicht. Ich wusste gar nicht, dass es eine bestimmte Formel gibt. Ich hatte immer das Geld mit den Wahrscheinlichkeiten multipliziert, aber nie gewusst, warum das nötig ist. |
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24.03.2014, 22:50 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Prima ! Du hast die Formel für den Erwartungswert doch bereits genutzt ! Formelsammlung -> Erwartungswert ... da findest Du diese. (Diskrete Verteilungen.) ---------------- Während Du jetzt diese Formel suchst, schreibe ich Dir eine kleine Hilfe zur Lösung ... |
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24.03.2014, 22:59 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
x = Gewinnsumme = (Gewinn - Einsatz) p = Wahrscheinlichkeit --------------- Gewinn, wenn 12, 21 oder 66. Pfade: 21 ........... p= ... ? 12 ........... p= ... ? 66 ........... p= ... ? 3 unterschiedliche Pfade, also die Wahrscheinlichkeiten addieren. p_(G) = ...? Gewinnwert = Gewinn - Einsatz = x x = 3 EUR - 1 EUR x = 2 EUR Kommst Du bis dahin mit ? |
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24.03.2014, 23:06 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Formel für den Erwartungswert:
Muss man hier die Gewinne mit dem Einsatz subtrahieren ? 21 - Einsatz p= 21 * Wahrscheinlichkeit 12 - Einsatz p= 12 * Wahrscheinlichkeit 66 - Einsatz p= 66 * Wahrscheinlichkeit Habe ich das richtig verstanden ? |
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24.03.2014, 23:24 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube, wir haben uns etwas mißverstanden. Gewinn, wenn die Augensumme 3 beträgt oder wenn zwei Sechsen fallen. Pfade: 21 ....... p= 1/6 *1/2 = 1/12 12 ....... p= 1/6 *1/2 = 1/12 66 ....... p= 1/3 *1/3 = 1/9 P_G = 1/12 + 1/12 + 1/9 = 30/108 = 15/54 Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen beträgt p=15/54. Die Gewinnsumme = Gewinn - Einsatz = 3 EUR - 1 EUR = 2 EUR = x p_1 = 15/54 x_1 = 2 EUR Nichtgewinnen: p_N = 39/54 Gewinnsumme = Gewinn - Einsatz = 0 EUR - 1 EUR = -1 EUR p_2 = 39/54 x_2 = - 1 EUR |
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24.03.2014, 23:27 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mathe-Maus Könnten wir vielleicht morgen weitermachen ? Erlaubst du mir für heute Schluss zu machen ? Habe morgen Schule. ^^^ |
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24.03.2014, 23:31 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehe ich auch so. Zum Vergleich: E(x) = -1/6 EUR -------------- Vielleicht stellt Du die letzte Aufgabe morgen nochmal neu ein, dann schauen mehr Helfer drauf. |
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24.03.2014, 23:32 | Bonheur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok Vielen Dank für alles. Gute Nacht |
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