Vektorrechnung mit Skalarprodukt

24.03.2014, 16:19

Rivago

Vektorrechnung mit Skalarprodukt

Edit (mY+): Thementitel modfiziert.

Hallo Wink

Ich hab im Anhang mal eine Prüfung aus vergangenen Jahren hochgeladen. Ich übe derzeit ein paar Aufgaben zur Vektorrechnung.

Mir geht es um die Aufgabe 5.5

Alle anderen Aufgaben von der 5 konnte ich ohne Probleme lösen smile

Aber bei der 5.5 weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll. Und was ist denn die Abszissenachse?

24.03.2014, 18:07

riwe

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RE: Prüfungsaufgabe Vektorrechnung
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =s\cdot\overrightarrow{OP} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Abszissenachse = x-Achse

24.03.2014, 18:48

Rivago

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Hmm ok.. was wäre denn noch eine andere mögliche Gleichung? verwirrt

Und wie funktioniert denn Teil 2 der Aufgabe? Ich hab mir das Prisma mal gezeichnet, aber das bringt mir leider auch nichts verwirrt

Muss ja irgendwie mit dem Schnittwinkel von Vektoren zu tun haben, oder?

24.03.2014, 21:29

riwe

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das hat doch überhaupt nix mit dem Prisma zu tun.
quäle einfach das Skalarprodukt

24.03.2014, 21:52

Rivago

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Also $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 60 \end{eqnarray*}$ ???

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} = \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} t \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was soll denn dann aber der b-Vektor sein?

Ich versteh es nicht so richtig verwirrt

24.03.2014, 23:14

riwe

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die Abszissenachse, steht doch eh schon zigmal oben unglücklich

25.03.2014, 15:15

Rivago

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 60 \end{eqnarray*}$

verwirrt

Aber dann stimmt die Lösung nicht verwirrt

25.03.2014, 15:38

mYthos

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Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 60 \end{eqnarray*}$
...

WIE kommst du zu dieser Gleichung? Kannst du das irgendwie begründen?
Das ist nämlich ziemlicher Käse ...

Hinweis:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \varphi \end{eqnarray*}$

... das findest du in jedem besseren Tafelwerk.

25.03.2014, 17:14

Rivago

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Na die (1; 0; 0) ist der Vektor der x-Achse.

Und dann eben Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} t \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = cos (60) \end{eqnarray*}$

Nicht?

25.03.2014, 18:26

mYthos

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Nein.
Wenn du das in die o.a. Beziehung einsetzt, fehlt da noch etwas ...

25.03.2014, 18:34

Rivago

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Kannst du einen Tipp geben? Ich weiß es leider wirklich nicht unglücklich

25.03.2014, 18:45

mYthos

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Schau doch die Gleichung an, die ich dir beim Hinweis geschrieben habe. Da stehen doch noch die Beträge drin ...

25.03.2014, 18:55

Rivago

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Ich versteh nicht wieso ich da die Beträge mit einbeziehen muss. Beim Skalarprodukt haben wir das so nicht gelernt gekriegt.

(x - Koordinaten mal x - Koordinaten) + (y - Koordinate mal y - Koordinate) + (z - Koordinate mal z - Koordinate) = Zahl

Es ist echt in jeder Prüfung irgend eine Aufgabe die ich nicht versteh böse

25.03.2014, 19:59

mYthos

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Du bist leider beratungsresistent und beharrst auf nur Teile von Tatsachen.
Das Skalarprodukt allein bringt es doch noch nicht, du musst ja auch den gegebenen Winkel mit einbeziehen und damit das unbekannte t berechnen, was das Ziel der Aufgabe ist.

Und da erhebt sich nun die Frage:
Was IST denn das Skalarprodukt zweier Vektoren, bzw. wie IST es definiert?
Wenn du das mal hinterfragt und dich darüber informiert hast, kommst du zwangsläufig auch auf diesen folgenden Zusammenhang:

Es ist der Betrag des ersten Vektors mal dem des zweiten Vektors mal dem Cosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels!

Warum willst du das nicht akzeptieren, umsomehr, da ich dir das erstens hingeschrieben und zweitens dich nochmals darauf aufmerksam gemacht habe?

Somit hast du zu rechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \left| \begin{pmatrix} t \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \cos (60°)<br /> \end{eqnarray*}$

mY+

25.03.2014, 20:17

Rivago

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Sorry, nehm es mir nicht übel, aber manchmal brauch ich länger um was zu verstehen unglücklich

Hab mal mein Tafelwerk aufgeschlagen, da steht es tatsächlich so drin.

Wir mussten das bisher nur noch nie so machen, deswegen bin ich ziemlich verwirrt.

Hatten zb immer nur Aufgaben wie zb (für welche Wert von t stehen die Vektoren senkrecht zueinander?) und dann muss man ja nur (x - Koordinaten mal x - Koordinaten) + (y - Koordinate mal y - Koordinate) + (z - Koordinate mal z - Koordinate) = 0 und dies dann nach t umstellen.

Mhh unglücklich

25.03.2014, 20:25

mYthos

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Ja, das alles kann so sein, unbestritten.
Aber nun war mal die Aufgabe so abgeändert, dass ein Winkel mit im Spiel war.
Und da muss dir zwangsläufig die (andere) Beziehung für das Skalarprodukt einfallen ...

Hast du nun die richtige Lösung herausbekommen?

mY+

25.03.2014, 20:30

Rivago

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Alles klar, gut das ich so eine Aufgabe mal gemacht hab. Nicht das ich in einer Arbeit oder in der Prüfung auf die Nase fall Augenzwinkern

Auf jeden Fall gut zu wissen ^^ Danke smile

Die Lösung ist dann $\begin{eqnarray*} t_{1, 2} = +- \frac{\sqrt{30}}{3} \end{eqnarray*}$

smile

25.03.2014, 20:34

mYthos

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Japp

25.03.2014, 21:12

Rivago

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Sorry ich muss nochmal nerven unglücklich

Ich hab die Lösung vom Lösungsblatt übernommen, weil ich dachte der Rest ist mir klar und es ist einfach auszurechnen.

Jetzt mach ich das, aber ich komm beim besten Willen nicht auf das Ergebnis.

Es ist doch:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t² + 10} \cdot 1 \cdot cos(60) \end{eqnarray*}$

Quadrieren

$\begin{eqnarray*} t² + 10 \cdot \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t² + \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

verwirrt

25.03.2014, 22:09

mYthos

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Da steht doch nur ein Term! WO ist die Gleichung?
Auch diese habe ich dir bereits hingeschrieben!
Rechts muss nun das mittels der Koordinaten berechnete Skalarprodukt stehen.

2. Fehler: Es fehlt die Klammer nach dem Quadrieren, daher wäre es auch so schon falsch.

Solche (wie der 2. Fehler) dürften dir allerdings keinesfalls mehr passieren, das sind Grundlagen der Algebra, dadurch würdest du dir eine eventuell ansonsten gute Arbeit unnötig verderben.

mY+

25.03.2014, 22:17

Rivago

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Ich bin irgendwie total durcheinander unglücklich

$\begin{eqnarray*} cos (60) = \frac{t \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{\sqrt{t² + 3² + 1²} \cdot \sqrt{1²}} = \frac{t}{\sqrt{t² + 10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos (60) = \frac{t}{\sqrt{t² + 10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos (60) \cdot \sqrt{t² + 10} = t \end{eqnarray*}$

Quadrieren

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot (t² + 10) = t² \end{eqnarray*}$

Aber das kann ja alles nicht stimmen. Wenn ich jetzt weiter mach komm ich am Ende nie auf das Ergebnis unglücklich

Aber ich weiß grad nicht wie es sonst gehen soll verwirrt

25.03.2014, 22:42

mYthos

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Doch, so stimmt es jetzt, alles bis zur letzten Zeile!
Jetzt multipliziere mit 4:

$\begin{eqnarray*} t^2 + 10 = 4t^2 \end{eqnarray*}$

Was ist das Problem?

mY+

26.03.2014, 13:19

Rivago

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Wieso stimmt denn die letzte Zeile nicht? cos60 zum Quadrat ist doch 1/4 verwirrt

Dann die 1/4 mal t² + 1/4 mal 10 = t²

Ich versteh nicht so richtig wie du auf deine Gleichung kommst. unglücklich

Ach man, normalerweise hab ich mit solchen Umstellungen überhaupt keine Probleme unglücklich

27.03.2014, 00:19

mYthos

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Ich meinte, dass deine letzte Zeile AUCH stimmt, du sollst einfach - richtig - weiterrechnen!
Multipliziere beidseits mit 4, man, das kann doch nicht so schwer sein!

27.03.2014, 13:21

Rivago

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Aber warum denn mit 4 UND beidseits? verwirrt

Ich glaub ich bin zu dumm für diese Aufgabe. Besser wir lassen es.. scheinst ja mit deiner Geduld auch am Ende unglücklich

27.03.2014, 20:38

mYthos

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Geduld ist die, die kaum jemals endet .. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot (t^2 + 10) = t^2 \end{eqnarray*}$

Nachdem im linken Term 4 im Nenner steht, muss die Gleichung beidseits mit 4 multipliziert werden:
Daher kürzen sich links die 4/4 und rechts taucht 4 natürlich wieder auf:

$\begin{eqnarray*} t^2 + 10 = 4 t^2 \end{eqnarray*}$

Ist dieser Schritt bis dahin klar?

28.03.2014, 17:42

Rivago

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Ne nicht wirklich..

Man muss doch eigentlich alles was in der Klammer steht mit den 1/4 multiplizieren, oder nicht?

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}t² + \frac{5}{2} = t² \end{eqnarray*}$

So hätte ich gedacht. Aber das ist ja augenscheinlich falsch und ich versteh nicht wieso. Ich weiß auch nicht wieso ich beidseitig mit 4 multiplizieren muss!? Eigentlich doch mit 1/4. Aber warum beidseitig? unglücklich

28.03.2014, 22:22

mYthos

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Wer sagt, dass das falsch ist? Es stimmt, du hast einfach ausmultipliziert.
Ob das geschickt war, ist allerdings eine andere Frage, denn jetzt hast du erst recht lauter Brüche stehen, noch dazu mit verschiedenem Nenner.

Wie gedenkst du jetzt nach t zu lösen?

Jetzt musst du erst recht mit 4 multiplizieren, um die Brüche wegzubekommen.
Und beidseits deswegen, weil nur dies eine Äquivalenzumformung der Gleichung ist.
Die Gleichung muss sozusagen immer im "Gleichgewicht" bleiben.

Du hast leider ein arges Defizit bei Umformung von Gleichungen, ich würde dir empfehlen, diesen Stoff, der von der 7. bzw. 8. Schulstufe abgedeckt wird, im Gesamten nochmals gründlich zu wiederholen.

Löse für den Anfang mal z.B. die Gleichung nach x:

$\begin{eqnarray*} \frac x 4 = \frac 3 2 \end{eqnarray*}$

mY+

29.03.2014, 10:42

Rivago

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Ja das kann gut sein, dass ich da noch ein paar Defizite hab und sie bis jetzt nur nicht aufgefallen sind. Irgendwie hab ich immer alles gelöst bekommen.. unglücklich

Ich würde erstmal mit 4 multiplizieren, damit der Bruch auf der linken Seite wegkommt.

Also

$\begin{eqnarray*} x = \frac{3}{2} \cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

30.03.2014, 22:55

mYthos

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So, das ist mal richtig so.
Und mache nun dasselbe mit der anderen Gleichung:

Multipliziere ebenfalls mit 4:

$\begin{eqnarray*} t^2 + \frac 5 2 \cdot 4 = 4t^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt den Bruch auswerten und die $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ auf eine Seite ...

mY+

31.03.2014, 18:23

Rivago

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Jetzt wird mir so einiges klar Hammer

Komm jetzt auch das das richtige Ergebnis smile

Eigentlich hat mich immer nur verwirrt, warum ich mit 4 multiplizieren soll. Ich löse solche Gleichungen aber eigentlich fast immer indem ich durch die Zahl dividiere, die vor dem Buchstabe steht (in dem Fall t².. die Zahl 1/4). Somit steht dann ja wieder t² und aus den 5/2 wird wieder 10. So gesehen war das ausmultiplizieren sinnlos.
Das einzige woran es gescheitert hat war ja demnach nur deswegen, weil ich auf den rechten Seite nicht auch durch 1/4 geteilt hab.
Also muss man das immer machen? Das was man auf der rechten Seite macht, macht man auf der linken Seite zwingend auch, und umgekehrt?

01.04.2014, 21:34

mYthos

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Ja, so ist es smile

02.04.2014, 17:57

Rivago

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Super, dann kann man das Thema ja endlich als gelöst betrachten Big Laugh

Danke für deine Hilfe und die große Geduld. Glaub ich könnte mir sowas nicht so lange antuen wie du und auch manch andere hier Freude

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Vektorrechnung mit Skalarprodukt

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