Geometrische Eigenschaften am Kurvenpunkt F(X), an dem die Ableitungskurve einen Wendepunkt hat |
| 24.03.2014, 17:20 | spnBOY | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Geometrische Eigenschaften am Kurvenpunkt F(X), an dem die Ableitungskurve einen Wendepunkt hat Hallo, ich habe ein Problem mit einer Mathe-Aufgabe, die sich mit Kurvendiskussion auseinander setzt. Die Aufgabe lautet: "Welche besondere geometrische Eigenschaft zeichnet einen Kurvenpunkt aus, an dem die Ableitungskurve einen Wendepunkt hat?" Darunter befindet sich noch eine Abbildung-> Bild Ich weiß nicht mehr weiter... Dazu müsst ihr wissen das ich mich seit langer Zeit nicht mehr mit Kurvendiskussion auseinander gesetzt habe, da ich demnächst fertig mit der Schule bin und kein Mathe in den Prüfung schreibe 
Meine Ideen: Ich verstehe zwar, dass wenn eine Ableitungskurve einen Hoch-/Tiefpunkt hat das dann bei der Stammfunktion die Wendepunkte sein müssen, aber nicht was der Wendepunkt bei der Ableitung.. |
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| 24.03.2014, 19:01 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
keine Ahnung. Außerdem komme ich insgesamt mit der Zeichnung nicht klar 
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| 25.03.2014, 14:45 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Dopap Wenn du "keine Ahnung" zu diesem Thema hast, solltest du auf eine Antwort verzichten, denn ein 0-Antwort Thread hat mehr Chancen, behandelt zu werden. ____________ An der Stelle, wo das Fragezeichen zu sehen ist, befindet sich ein Flachpunkt. Bedingung dafür ist, dass dort die 3. Ableitung verschwindet, indes dies bei der 1. und 2. Ableitung nicht der Fall ist*. Das deckt sich mit der Aussage, dass die Ableitungskurve (f '(x)) dort einen Wendepunkt besitzt. In diesem Fall muss deren 2. Ableitung, dies ist eben dann (f ')''(x) = f '''(x), die 3. Ableitung der Funktionsgleichung, an dieser Stelle Null werden. (*) Es können auch höhere Ableitungen verschwinden, die Flachpunkte haben dann auch eine höhere Ordnung. Ein Polynom vom Grad n kann demnach einen Flachpunkt (n - 2)-ter Ordnung haben. mY+ |
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| 25.03.2014, 18:01 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1.) die Zeichnung ist noch immer falsch. 2.) der Flachpunkt wird also genau so definiert wie die Aufgabe es vorgibt. (?) und was die geometrischen Eigenschaften des Punktes sein sollen, bin ich nach wie vor ratlos. Die vorgenannten Ableitungs-regeln können es ja nicht sein, da diese Teil der Aufgabe sind. edit----------------------------------------------- ich habe es mal mit der Funktion des Krümmungsradius versucht: aber ohne richtigen Erfolg. |
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| 26.03.2014, 00:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehe ich nicht so. Kannst du dies bitte begründen? __________ Man könnte vermuten, dass in einem wie vordem definierten Flachpunkt dieser Art - also bei/ab f ''' = 0 - die Krümmung einen relativen Extremwert hat. Das ist interessanterweise nicht der Fall, die Extremwerte der Krümmung liegen an anderen Stellen. Allerdings hat die Krümmung in diesem Flachpunkt einen kleinen Wert (nahe bei Null), daher ist der Radius des Krümmungskreises dort ziemlich groß. Lediglich in den Nullstellen der 2. Ableitung ist die Krümmung ebenfalls Null, in den Wendepunkten der Kurve findet bekanntermaßen ein Vorzeichenwechsel der Krümmung statt. Beispiel: Untersuchung der Funktion Die Grafik zeigt den Funktionsgraphen (rot), dieser besitzt einen Flachpunkt in (1.5; 3.94) und 2 Wendepunkte (bei x = 1 und x = 2). Zu sehen sind auch die Ableitungskurven bis zur 3. Ableitung. Der Wendepunkt der 1. Ableitungskurve (blau) liegt bei x = 1.5, welches den erwähnten Flachpunkt bezeichnet. mY+ |
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| 26.03.2014, 19:22 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1.) Zur Zeichnung: die x-Achse müsste höher als der Erste Hochpunkt liegen. 2.) Für mich ist ein Flachpunkt dort, wo der Krümmumgsradius unendlich wird. 3.) und das ist wohl nur dann der Fall, wenn eine Doppelte Nullstelle ist. Beispiel: man sieht hier, dass die Funktion im Tangentenpunkt (2,1) einen Flachpunkt mit hat 4.) die Aufgabe erscheint seltsam: ein grober Fehler in der Zeichnung und dann eine "harmlose" Frage. Mir ist nicht klar, ob der Aufgbensteller selbst auf der Höhe seiner eigenen Frage ist. Mich würde die Quelle schon interessieren. |
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| 26.03.2014, 23:54 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bezüglich der Höhe der x-Achse stimmt dein Einwand, es ist ein Darstellungsfehler, denn die einzige Nullstelle der Ableitungskurve müsste an der Stelle des Minimums der Funktion liegen. Für die gegenständliche Untersuchung bzw. die eigentliche Frage ist dies jedoch ohne Belang. Das Aussehen der Ableitungskurve ändert sich nicht, weil die Ableitung eines konstanten Summanden verschwindet. Man hätte also die x-Achse sogar weglassen können ... Und in deinem Beispiel ist auch die 3. Ableitung an der Stelle 2 gleich Null, also die erwähnte Bedingung für den Flachpunkt erfüllt. Dass dort die Krümmung ebenfalls Null wird, ist hier zwar gegeben, aber nicht Bedingung. Unser Problem ist hier wohl, dass (wie auch in der Literatur) Auffassungsunterschiede hinsichtlich der Definition eines Flachpunktes bestehen. Nach deinem Punkt 2.) müsste jeder Wendepunkt auch gleichzeitig ein Flachpunkt sein, weil ja darin die Krümmung gerade Null ist. Es gibt tatsächlich Autoren, die auch Wendepunkte zu den Flachpunkten zählen. So weit würde ich jetzt nicht gehen. Ich möchte die Diskussion mal vorläufig beenden, vor allem auch, weil allein schon der Fragesteller es nicht der Mühe wert gefunden hat, hier Feedback zu geben. Ungeachtet dessen bin ich immer noch der Ansicht, dass deine erste Antwort wenig hilfreich war. Du hättest ja diese Dinge, die du später dazu geäußert hast, gleich mitteilen können. mY+ |
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| 27.03.2014, 00:26 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nachdem die Zeichnung falsch war und mir ad hoc nichts dazu einfiel ist mir die Bemerkung so rausgerutscht. Sollte auch mehr eine Einladung für andere Helfer sein. Und der Thread zeigt auch, dass ich die Frage schon sehr ernst nehme, auch wenn der Einstieg ein wenig schräg war. Ich bitte den Moderator um Milde ... 
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| 27.03.2014, 00:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 27.03.2014, 18:48 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Geometrische Eigenschaften am Kurvenpunkt F(X), an dem die Ableitungskurve einen Wendepunkt hat Hallo 
Sorry, auch wenn der Thread erledigt ist... Aus mehr programmtechnischen Gründen interessiert mich sowas ja auch :O Ich glaube es ging um etwa diese Funktion Wo f' lediglich einen WP besitzt, dort ist ja f''' null und die Taylor-Entwicklungen 2. und 3. Ordnung an dieser Stelle stimmen überein (haben höchstens 2. Ordnung). Die Krümmung hat ein Minimum. Alles eher unspektakulär... Wo f' insbesondere einen Sattelpunkt besitzt, ist ein echter Flachpunkt. Die Taylor-Entwicklungen 1. bis 3. Ordnung an dieser Stelle stimmen überein.. Die Krümmung ist dort freilich null und f'' hat dort eine NSt gerader Ordnung. Als weiteres Beispiel genügt schon Hoffe das stimmt so, hab mir darüber vorher auch noch nicht so den Kopf zerbrochen. |
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| 27.03.2014, 23:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Geometrische Eigenschaften am Kurvenpunkt F(X), an dem die Ableitungskurve einen Wendepunkt hat
Das stimmt so nicht ganz, denn das (relative) Minimum der Krümmung liegt (infolge deren Definition) an anderer Stelle, wie es schon erwähnt wurde. Hier bei x = 0.807 ( ), die Maxima bei x = 0 und x = 2.36 An der Stelle x = 1, wo f '''(x) = 0 ist, beträgt die Krümmung -0.353 Die Untersuchungen der Krümmungsfunktion selbst ist allerdings eher rhetorisch, denn es interessieren mehr die Krümmungsradien, also die Absolutwerte der Krümmung und auch jene Stellen, an denen die Krümmung kurzzeitig Null ist, wie es ja auch schon bei den Wendepunkten der Fall ist. In den Wendepunkten findet Krümmungswechsel statt, bei echten Flachpunkten hingegen bleibt das Vorzeichen der Krümmung erhalten. mY+ |
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| 28.03.2014, 07:51 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Geometrische Eigenschaften am Kurvenpunkt F(X), an dem die Ableitungskurve einen Wendepunkt hat Oh danke für den Hinweis. Hab beim Einzeichnen der Krümmungsfunktion gemerkt, dass ich den Zusammenhang nicht nur falsch formuliert -, sonder auch überschätzt habe :O Deine Werte kann ich bestätigen und damit finde ich gewöhnliche WP in der Ableitung gleich mal wieder uninteressant 
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