Teilbarkeit durch 7

25.03.2014, 19:19

Champ 10

Teilbarkeit durch 7

Meine Frage:
Hallo, liebe Mathematiker smile

Ich verstehe die Fragestellung überhaupt nicht und bräuchte die Lösungsschritte und ebenfalls die Erklärung dazu bitte

7|(a^2+b^2) ==>> dann 7|a und 7|b

Meine Ideen:

Ich nehme an dass man indirekt angehen muss aber hab leider keine Ahnung wie.
Ich danke im Voraus smile

25.03.2014, 20:53

Mulder

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RE: Teilbarkeit von 7

Zitat:

Original von Champ 10
Ich verstehe die Fragestellung überhaupt nicht [...]

Da steht: Wenn $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ teilbar ist, dann sind schon $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ für sich genommen beide durch $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ teilbar. Das ist die Aussage, die du beweisen sollst.

Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 \equiv 0 \pmod 7 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir nun an, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wäre nicht durch $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ teilbar, also $\begin{eqnarray*} a \not\equiv 0 \pmod 7 \end{eqnarray*}$ . Was kann $\begin{eqnarray*} a \pmod 7 \end{eqnarray*}$ denn alles sein? Und was kann $\begin{eqnarray*} a^2 \pmod 7 \end{eqnarray*}$ sein? Du solltest dann schnell einen Widerspruch finden.

25.03.2014, 21:48

Champ 10

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RE: Teilbarkeit von 7
a kann 7k+r sein wobei k,r aus Z sind und r kann 1 bis 6 sein, dann wäre a nicht durch 7 teilbar. Dann wäre a^2 auch nicht durch 7 teilbar

a und b nicht durch 7 teilbar, dann wäre a=7k+r und b=7l+s , 1<=r,s=<6

7 | a^2 + b^2 ==>> 49k^2+14kr+s^2 + 49l^2 + 14ls + l^2

Dann ist zu zeigen, dass 7 | s^2 + l^2

Da 1<=r,s=<6

Dann ist r^2 und l^2 auch nicht durch 7 teilbar, weil immer Rest rauskommt.

Was ein Widerspruch ist für 7 | a^2 +b^2

Passt das so ?

25.03.2014, 21:52

Champ 10

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RE: Teilbarkeit von 7
PS Ich hab dem Mod mit Absicht immer weggelassen wegen Faulheit

25.03.2014, 22:21

Mulder

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RE: Teilbarkeit von 7

Zitat:

Original von Champ 10
7 | a^2 + b^2 ==>> 49k^2+14kr+s^2 + 49l^2 + 14ls + l^2

Dann ist zu zeigen, dass 7 | s^2 + l^2

Da 1<=r,s=<6

Dann ist r^2 und l^2 auch nicht durch 7 teilbar, weil immer Rest rauskommt.

Was ein Widerspruch ist für 7 | a^2 +b^2

Würdest du das in einer Klausur auch so abgeben? Ich blicke jedenfalls nicht durch, was du da machst. Kein Stück.

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist nach unserer Annahme nicht durch $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ teilbar. Also hat man Rest $\begin{eqnarray*} 1,2,3,4,5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ . Welcher Rest (in konkreten Zahlen!) kann dann auftreten, wenn man $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ dividiert? Schau dir analog auch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ an (an $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ haben wir keine weiteren Annahmen gestellt, weil es nicht nötig ist).

Und dann schau dir mal an, ob die Summe der möglichen Reste von $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ in irgendeiner Kombination ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ ergeben kann.

25.03.2014, 22:45

Champ 10

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RE: Teilbarkeit von 7
Ja ich hab da oben geschmiert. Ich habe das Beispiel schon verstanden smile

danke dir

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