Glücksrad:Wahrscheinlichkeit

25.03.2014, 21:10

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Glücksrad:Wahrscheinlichkeit

Ein Glücksrad hat drei gleich große 120 Grad-Sektoren, von denen zwei Sektoren die Ziffer 1, ein Sektor die Ziffer 2 trägt.
a) Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A:"Die Ziffer 2 tritt mindestens zweimal auf"
B:"Die Summer der gedrehten Ziffern ist 4".

b) Nun drehen zwei Spieler A und B das Glücksrad je einmal. Sind die beiden gedrehten Ziffern gleich, so gewinnt Spieler A und erhält 2 Euro von Spieler B. Andernfalls gewinnt Spieler B und erhält die Ziffernsumme in Euro von Spieler A. Welcher Spieler ist im Vorteil?

Erstmal zu a)

Idee:

A:

$\begin{eqnarray*} 1=P(E)+P(\overline{E}) \Rightarrow P(E)=1-P(\overline{E}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(E)=1- \left(3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\right)\right) \end{eqnarray*}$

B:

$\begin{eqnarray*} P(E)=3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

25.03.2014, 21:31

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso schreibst du nicht $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ ? Die Ereignisse heißen doch A und B, nicht E.

P(B) stimmt.

Wie kommst du auf die Rechnung bei P(A)? Ich habe da etwas anderes raus.

25.03.2014, 21:42

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich an $\begin{eqnarray*} P(E) \end{eqnarray*}$ gewöhnt. Big Laugh

Big Laugh

Ich versuche es mir abzugewöhnen. smile

smile

Zu meiner Rechnung:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade betragen 1:

$\begin{eqnarray*} 1=P(E)+P(\overline{E}) \Rightarrow P(E)=1-P(\overline{E}) \end{eqnarray*}$

Wenn man nun die Gegenwahrscheinlichkeiten von den 100 % abzieht, kommt man auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Dabei habe ich mir erstmal ein Baumdiagramm abgezeichnet und die Gegenwahrscheinlichkeiten rausisoliert.

1. 111
2. 112
3. 121
4. 211

Ich habe die Gegenwahrscheinlichkeiten zusammengefasst.

$\begin{eqnarray*} P(\overline{A})=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt folgt:

$\begin{eqnarray*} P(A)=1-P(\overline{A}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(A)=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$

25.03.2014, 21:51

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du jetzt noch Klammern setzt, ist es richtig:
$\begin{eqnarray*} P(A)=1-\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right) \end{eqnarray*}$
Oben hattest du noch etwas komplett anderes geschrieben.

Hier ist es übrigens gar nicht notwendig über das Gegenereignis zu gehen. Man kann auch P("genau 2-mal 2")+P("genau 3-mal 2) berechnen, das dauert genau so lange. Aber welchen Weg man geht, ist völlig egal.

25.03.2014, 22:01

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu.

smile

zu b)

A sei Spieler 1
B sei Spieler 2

$\begin{eqnarray*} P(A)=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B)=\left(\left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\right)^{2} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet die "Ziffernsumme" ?

25.03.2014, 22:11

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen Ziffernsumme=Summe der gedrehten Ziffern.

Sollen das die Wahrscheinlichkeiten sein, dass Spieler A bzw. B gewinnt? Wenn ja: Das ist richtig. smile

smile

Anzeige

25.03.2014, 22:21

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man schon daraus schließen, dass Spieler eins im Vorteil ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 gewinnt, beträgt 55,5 % und die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B gewinnt beträgt 4,9 %

25.03.2014, 22:26

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich merke gerade, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B gewinnt, doch falsch ist. Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} P(B)=2\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ sein.

Das die Prozentzahlen von dir nicht stimmen können merkt man schon daran, dass die Summe 100% sein muss; dass ist bei 55,5%+4,9% nicht so.

Man kann aus P(B)<P(A) nicht schließen, dass A im Vorteil ist. A wird zwar öfter gewinnen als B, wenn man das Spiel oft wiederholt, dafür gewinnt B aber auch mehr Geld, nämlich 3€. A gewinnt nur 2€.

25.03.2014, 22:34

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Das die Prozentzahlen von dir nicht stimmen können merkt man schon daran, dass die Summe 100% sein muss; dass ist bei 55,5%+4,9% nicht so.

Genau, den Gedanken hatte ich auch, aber dachte es wäre ein Sonderfall. Big Laugh

Big Laugh

Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(X)=x_1 \cdot P(X= X_1)+x_2 \cdot P(X=X_2)+...+X_n \cdot P(X=X_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)=3 \cdot 0,44 + 2 \cdot 0,555=2,43 \end{eqnarray*}$

Bringt uns das etwas?

Ich habe noch eine kurze Frage und zwar woher weiß man, dass der genaue Gewinn bei 3 € liegt, weil wenn man zweimal hintereinander die zwei bekommt, bekommt dann nicht Spieler B 4 € ? verwirrt

verwirrt

25.03.2014, 22:42

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

So geht das nicht.

Erstmal musst du dir überlegen, ob du den Erwartungswert für den Gewinn von Spieler A oder den Gewinn von Spieler B berechnen möchtest.
Ich nenne das mal $\begin{eqnarray*} E(A) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} E(B) \end{eqnarray*}$ (obwohl diese Bezeichnungen natürlich auch nicht korrekt sind, da ja A und B keine Zufallsvariablen sind...)

Berechnen wir mal $\begin{eqnarray*} E(A) \end{eqnarray*}$ , also den Erwartungswert für den Gewinn von Spieler A.
Du hast jetzt den Fehler gemacht, dass du bei jedem Spiel einen (positiven) Gewinn von A angenommen hast. Wenn allerdings B das Spiel gewinnt, dann "gewinnt" doch A -3€.
Berechne jetzt nochmal den $\begin{eqnarray*} E(A) \end{eqnarray*}$ , da kommst du nicht auf 2,43.

Und bitte benutze dabei die (genauen) Brüche und nicht (gerundete) Dezimalzahlen. Wenn überhaupt, dann erst am Ende runden.

Zitat:

Original von Bonheur
Ich habe noch eine kurze Frage und zwar woher weiß man, dass der genaue Gewinn bei 3 € liegt, weil wenn man zweimal hintereinander die zwei bekommt, bekommt dann nicht Spieler B 4 € ? verwirrt

verwirrt

Wenn beide Spieler die 2 drehen, gewinnt doch Spieler A, nicht Spieler B. Spieler B kann nr gewinnen, wenn einer die 1 und einer die 2 dreht. Das macht dann einen Gewinn von 1+2=3€.

25.03.2014, 22:57

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Wenn beide Spieler die 2 drehen, gewinnt doch Spieler A, nicht Spieler B. Spieler B kann nr gewinnen, wenn einer die 1 und einer die 2 dreht. Das macht dann einen Gewinn von 1+2=3€.

Das ist ja voll schlau. smile

smile

----------------------------------------

Ich weiß nicht.

Ich vermute:

Wenn Spieler B gewinnt, dann verliert A 3 €.

$\begin{eqnarray*} Verlust=x-3 \end{eqnarray*}$

Wenn Spieler A gewinnt, dann verliert B 2 €.

$\begin{eqnarray*} Verlust=x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(A)=\frac{5}{9} \cdot \left(3-x)\right) \end{eqnarray*}$

Ich bin völlig verplant. unglücklich

unglücklich

25.03.2014, 23:05

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn jetzt x sein?

Oben war die Berechnung des Erwartungswertes ja schon fast richtig. Aber statt +3 musst du -3 einsetzen.

$\begin{eqnarray*} E(A)=(-3) \cdot \frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/9 gewinnt Spieler A 2€, mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/9 "gewinnt" Spieler A -3€ (also verliert er 3€). So kommt man auf diese Rechnung.

Also: $\begin{eqnarray*} E(A)=-\frac{2}{9}\approx -0,22 \end{eqnarray*}$
Und weil B das Geld bekommt, das A verliert und umgekehrt, ist dann natürlich $\begin{eqnarray*} E(B)=-E(A)\approx 0,22 \end{eqnarray*}$ (das könnte man auch wie oben ausrechnen).

Was bedeutet das jetzt? Welcher Spieler ist im Vorteil?

25.03.2014, 23:10

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Spieler ist im Vorteil, weil die Werte identisch sind.

Nick, Vielen Dank für die Hilfe.

Es muss ein wenig verarbeitet werden, gucke mir morgen nochmal den kompletten Thread an.

Gute Nacht

Wink

Wink

25.03.2014, 23:12

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sind die Werte identisch? Ich habe doch geschrieben, dass E(A)=-0,22, E(B)=-E(A)=0,22.
Willst du mir jetzt erzählen, dass -0,22=0,22 ist?

Diese Zahlen bedeuten: Spieler A "gewinnt" im Durchschnitt -0,22€ pro Spiel (verliert also 0,22€ pro Spiel), Spieler B gewinnt durchschnittlich 0,22€ pro Spiel.

25.03.2014, 23:14

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh

Alles klar.

Ich schaue mir das Morgen nochmal an.

Ich bedanke mich nochmal Herzlich bei dir. smile

smile

25.03.2014, 23:17

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Nacht! Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »