Koordinatengleichung aus Punkt und X-Achse

27.03.2014, 20:24

netik

Koordinatengleichung aus Punkt und X-Achse

Gegeben:
- Punkt P(3/5/2)

Gesucht:
- Koordinatengleichung der Ebene $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ , welche die x-Achse und Punkt P enthält.

Ich komme leider nicht wirklich weiter.
$\begin{eqnarray*} \Sigma : \vec{p} = \begin{pmatrix}3/5/2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + ? \end{eqnarray*}$

Mir fehlt hier doch die Angabe einer zweiten Geraden? Oder kann ich z.B. von einem gegebenen Punkt auf der x-Achse einen neuen Vektor in Richtung des Punktes P annehmen?

27.03.2014, 20:31

Fazer

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Genau so kannst du es doch machen.

Beachte aber bitte, dass du dort noch keinen Richtungsvektor stehen hast. Wie bestimmst du denn einen Vektor aus zwei Punkten?

27.03.2014, 20:43

netik

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hmm ok,
$\begin{eqnarray*} \Sigma : \vec{p} = \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}x&=&3+\lambda+3\mu\\y&=&5+5\mu\\z&=&2+2\mu\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Bis hierher leuchtet es mir nun ein, aber jetzt habe ich irgendwie ein Verständnisproblem. Ich habe nun ja 3 Unbekannte und zwei Parameter. Da ich am Ende ja eine Koordinatengleichung mit x, y und z = 0 erhalten möchte, muss ich wohl irgendwie die Parameter wegbringen, aber mich verwirrt irgendwie dass das Lambda nur in einer Gleichung vorkommt. Muss ich nun alle 3 Gleichungen verwenden, oder reicht es, wenn ich mit der zweiten und dritten das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eliminiere? Und wenn ja, warum ist das so?

Edit opi: Vollzitat entfernt.

27.03.2014, 20:52

Fazer

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Falls du als zweiten Punkt den Ursprung gewählt hast, kannst du den zweiten Richtungsvektor so stehen lassen. Der erste Richtungsvektor stimmt noch immer nicht.... naja, hat sich ja auch nichts dran geändert. Du musst die Punkte schon voneinander subtrahieren.

Für das Umwandeln der Ebenenform ist es nicht nötig Gleichungen zu lösen.

27.03.2014, 21:01

netik

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ach...
$\begin{eqnarray*} \Sigma : \vec{p} = \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-2\\-5\\-2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So besser?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}x&=&3-2\lambda + 3\mu\\y&=&5-5\lambda +5\mu\\z&=&2-2\lambda + 2\mu\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ohne Gleichungen zu lösen kann man eine Parameter- in eine Koordinatengleichung umformen? Wie denn das?

Edit opi: Vollzitat entfernt.

27.03.2014, 21:05

Fazer

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Genau!

Wenn du die Ebene nun in Koordinatenform bringen möchtest, dann musst du zunächst den Normalenvektor aus deinen Richtungsvektoren bestimmen.

27.03.2014, 21:15

netik

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Hmm ja ok, das leuchtet mir zwar ein, aber da wir den Normalenvektor erst diese Woche behandelt haben, diese Aufgabe aber schon 2-3 Wochen alt ist, muss es wohl auch einen Weg ohne Normalenvektor geben?

Bei deinem Weg müsste ich wohl das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden, dann lässt sich x y und z der Koordinatengleichung soweit ich weiss aus dem Normalenvektor ablesen. Aber wie geht das denn mit den Gleichungen oben?

Edit opi: Vollzitat entfernt.

27.03.2014, 21:24

Fazer

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Ja, geht auch ohne Normalenvektor.
Dazu musst du mittels einer der drei Gleichungen aus den anderen zwei Gleichungen eine der Unbekannten eliminieren. Anschließend eliminierst du die andere Unbekannte aus einer der "neuen" Gleichungen.
Das Additionsverfahren müsstet ihr bereits im Unterricht behandelt haben, oder?

27.03.2014, 21:35

opi

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Ich möchte nicht verwirren, aber die Ebenengleichung $\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ war schon richtig.
Und wenn man als Stützpunkt (0|0|0) anstelle (3|5|2) wählt, wird das Gleichungssystem noch übersichtlicher. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist rasch eliminiert.

Edit @netik: Bitte antworte mit dem "Antwort"-Button und nicht mit einem Vollzitat. Der Inhalt steht doch jeweils direkt drüber.

27.03.2014, 21:40

Fazer

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Es ist spät. Seht es mir bitte nach Gott

27.03.2014, 21:42

netik

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Additionsverfahren haben wir angeschaut. Damit komme ich aber eben nicht ans Ziel:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}x&=&3-2\lambda + 3\mu\\y&=&5-5\lambda +5\mu\\z&=&2-2\lambda + 2\mu\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(2) + 5(3): \begin{vmatrix}2y &=& 10 -10\lambda + 10\mu\\5z &=& 10-10\lambda + 10\mu\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to 2y+5z = 20+20\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3)+(-1)(1) : \begin{vmatrix}-x &=& -3 +2\lambda - 3\mu\\z&=&2-2\lambda+2\mu\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to -x + z = -1 -\mu \end{eqnarray*}$

Damit werde ich aber nie auf ein Resultat ohne x kommen (was es laut Lösung jedoch sollte)

27.03.2014, 21:52

Fazer

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Da konnte ich nicht auf die schnelle durchblicken...

Fang doch beispielsweise damit an, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus den Gleichungen y und z mittels der Gleichung x zu eliminieren. Dadurch erhälst du 2 Gleichungen in denen kein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mehr vorkommt. Also entfernst du nun noch die andere Unbekannte aus einer der Gleichungen mittels der anderen. Das was du dann auf deinem Blatt (nach Zusammenfassen) stehen hast, ist die Ebene in Koordinatenform.

Edit: Bin jetzt aber weg, dass Sofa ruft Wink

28.03.2014, 17:01

riwe

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Zitat:

Original von netik
hmm ok,
$\begin{eqnarray*} \Sigma : \vec{p} = \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}x&=&3+\lambda+3\mu\\y&=&5+5\mu\\z&=&2+2\mu\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Bis hierher leuchtet es mir nun ein, aber jetzt habe ich irgendwie ein Verständnisproblem. Ich habe nun ja 3 Unbekannte und zwei Parameter. Da ich am Ende ja eine Koordinatengleichung mit x, y und z = 0 erhalten möchte, muss ich wohl irgendwie die Parameter wegbringen, aber mich verwirrt irgendwie dass das Lambda nur in einer Gleichung vorkommt. Muss ich nun alle 3 Gleichungen verwenden, oder reicht es, wenn ich mit der zweiten und dritten das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eliminiere? Und wenn ja, warum ist das so?

Edit opi: Vollzitat entfernt.

wie opi schon dargelegt hat, stimmt diese Gleichung und sie wäre noch einfacher mit O(0/0/0).

die Ebenegleichung in Koordinatenform bekommst du, indem du aus den Gleichungen 2 und 3 den Parameter eliminierst - das steht auch schon bei opi Augenzwinkern

auf Deutsch: in der Ebenengleichung tritt x nicht auf

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